A derivada da função cossecante é igual a menos cossecante multiplicada pela cotangente, -csc(x) cot(x). Podemos provar esta derivada usando limites e identidades trigonométricas.
Neste artigo, aprenderemos como derivar a função trigonométrica cossecante, tanto em sua forma simples quanto em sua forma composta. Veremos uma prova de sua derivada, uma comparação gráfica de cossecante e sua derivada e alguns exemplos.
Prova da derivada da função cossecante
A função trigonométrica cossecante de um ângulo é definida como a razão entre a hipotenusa e o lado oposto de um ângulo em um triângulo retângulo. Ilustrando-o através de uma figura, temos
onde C é 90°. Para o triângulo retângulo da amostra, a obtenção da cossecante do ângulo A pode ser avaliada como
$latex \csc{(A)} = \frac{c}{a}$
onde A é o ângulo, c é a hipotenusa e a é o lado oposto.
Antes de aprender a prova da derivada da função cossecante, recomenda-se aprender o teorema de Pitágoras, Soh-Cah-Toa e Cho-Sha-Cao, e o primeiro princípio dos limites como pré-requisitos.
Lembre-se de que qualquer função pode ser diferenciada definindo-a igual ao limite de
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$
Suponha que temos que encontrar a derivada de
$latex f(x) = \csc{(x)}$
então temos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \csc{(x+h)} – \csc{(x)} }{h}}$$
Analisando nossa equação, podemos ver que tanto o primeiro quanto o segundo termos no numerador do limite são uma cossecante da soma de dois ângulos x e h e uma cossecante do ângulo x. Com esta observação, podemos tentar aplicar as identidades de relações para cossecante e seno. Aplicando isso, temos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \frac{1}{\sin{(x+h)}} – \frac{1}{\sin{(x)}} }{h}}$$
Reorganizando algebricamente aplicando algumas regras de fração, temos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \frac{ \sin{(x)} – \sin{(x+h)} }{\sin{(x+h)}\sin{(x)}} }{h}}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \sin{(x)} – \sin{(x+h)} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}} }$$
Observando o numerador rearranjado, podemos aplicar as identidades da soma do produto do seno.
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ 2\cos{\left(\frac{x+(x+h)}{2}\right)} \sin{\left(\frac{x-(x+h)}{2}\right)} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ 2\cos{\left(\frac{x+x+h}{2}\right)} \sin{\left(\frac{x-x-h}{2}\right)} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ 2\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} \sin{\left(\frac{-h}{2}\right)} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$
Pelas identidades trigonométricas de um seno de um ângulo negativo, este é igual ao seno negativo da forma positiva do mesmo ângulo. Aplicando isso ao segundo multiplicando do numerador, temos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ 2\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} \cdot \left( -\sin{\left(\frac{h}{2}\right)} \right) }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ -2\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$
Reorganizando algebricamente e aplicando o limite do produto de duas funções, temos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ -\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} \cdot 2\sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{\sin{(x+h)}\sin{(x)} \cdot h} \right)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{-\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} }{ \sin{(x+h)}\sin{(x)} } \cdot \frac{ 2\sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{h} \right)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{-\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} }{ \sin{(x+h)}\sin{(x)} } \right)} \cdot \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ 2\sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{h} \right)}$$
Aplicando algumas regras de fração ao segundo multiplicando, temos
$$ \frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{-\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} }{ \sin{(x+h)}\sin{(x)} } \right)} \cdot \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{ \frac{h}{2} } \right)}$$
De acordo com os limites das funções trigonométricas, o limite da função trigonométrica $latex \sin{(\theta)}$ para $latex \theta$ quando $latex \theta$ se aproxima de zero é igual a um. O mesmo pode ser aplicado a $latex \sin{\left(\frac{h}{2}\right)}$ sobre $latex \frac{h}{2}$. Aplicando temos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{-\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} }{ \sin{(x+h)}\sin{(x)} } \right)} \cdot \lim \limits_{h \to 0} {1}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{-\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} }{ \sin{(x+h)}\sin{(x)} } \right)}$$
Finalmente, tornamos possível avaliar com sucesso o limite do que resta na equação. Avaliando substituindo o valor aproximado de $latex h$, temos
$$ \frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{-\cos{\left(\frac{2x+(0)}{2}\right)} }{ \sin{(x+(0))}\sin{(x)} } \right)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{-\cos{\left(\frac{2x}{2}\right)} }{ \sin{(x)}\sin{(x)} } \right)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \frac{-\cos{(x)} }{ \sin{(x)}\sin{(x)} }$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\frac{\cos{(x)} }{ \sin{(x)}\sin{(x)} }$$
Aplicando algumas identidades trigonométricas para simplificar a fórmula derivada usando identidades de relações definidas, temos
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\frac{ \cos{(x)} }{ \sin{(x)} } \cdot \frac{1}{\sin{(x)}} $$
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cot{(x)} \cdot \csc{(x)} $$
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\csc{(x)} \cot{(x)}$$
Portanto, a derivada da função trigonométrica ‘cossecante’ é:
$$\frac{d}{dx} (\csc{(x)}) = -\csc{(x)} \cot{(x)}$$
Gráfico de cossecante x vs. a derivada da cossecante x
Dada a função
$latex f(x) = \csc{(x)}$
seu gráfico é
E como já sabemos, diferenciando $latex f(x) = \csc{(x)}$, obtemos
$latex f'(x) = -\csc{(x)}\cot{(x)}$
que é ilustrado graficamente como
Ilustrando os dois gráficos em um, temos
A partir da comparação gráfica, pode-se ver que a função original $latex f(x) = \csc{(x)}$ tem um domínio de
$$(-2\pi,-\pi) \cup (-\pi,0) \cup (0,\pi) \cup (\pi,2\pi)$$
dentro dos intervalos finitos de
$latex (-2\pi,2\pi)$
e existe dentro da imagem de
$latex (-\infty,-1] \cup [1,\infty)$
enquanto a derivada $latex f'(x) = -\csc{(x)}\cot{(x)}$ tem domínio de
$$(-2\pi,-\pi) \cup (-\pi,0) \cup (0,\pi) \cup (\pi,2\pi)$$
dentro dos intervalos finitos de
$latex (-2\pi,2\pi)$
e existe dentro da imagem de
$latex (-\infty,\infty)$ ou todos os números reais
Exemplos
A seguir estão alguns exemplos de como usar a regra da cadeia para derivar funções cossecante compostas.
EXEMPLO 1
Qual é a derivada de $latex f(x) = \csc(8x)$?
Solução
Temos uma função cossecante composta, onde $latex u=8x$ é a função interna. Isso significa que podemos escrever $latex f(u)=\csc(u)$.
Então, vamos usar a regra da cadeia da seguinte forma:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=-\csc(u)\cot(u) \times 8$$
Agora, só temos que substituir $latex u=8x$ de volta na função e temos:
$$\frac{dy}{dx}=-8\csc(8x)\cot(8x)$$
EXEMPLO 2
Calcule a derivada de $latex F(x) = \csc(6x^2-3)$
Solução
Vamos usar a regra da cadeia para derivar essa função. Assim, expressamos a função cossecante como $latex f (u) = \csc(u)$, onde $latex u = 6x^2-3$.
Em seguida, calculamos a derivada da função $latex f (u) = \csc(u)$:
$$\frac{d}{du} ( \csc{(u)} ) = -\csc(u)\cot(u)$$
Agora, calculamos a derivada da função interna $latex u = 6x^2-3$, que chamamos de $latex g(x)$:
$$\frac{d}{dx}(g(x)) = \frac{d}{dx}(6x^2-3)$$
$$\frac{d}{dx}(g(x)) = 12x$$
Para aplicar a regra da cadeia, multiplicamos a derivada da função externa pela derivada da função interna:
$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$$
$$\frac{dy}{dx} = -\csc(u)\cot(u) \cdot 12x$$
Finalmente, substituímos $latex u=6x^2-3$ de volta:
$$\frac{dy}{dx} = -\csc(6x^2-3)\cot(6x^2-3) \cdot 12x$$
$$\frac{dy}{dx} = -12x\csc(6x^2-3)\cot(6x^2-3)$$
EXEMPLO 3
Encontre a derivada de $latex f(x) = \csc(\sqrt{x})$
Solução
Para derivar esta função, usamos a regra da cadeia e consideramos $latex u=\sqrt{x}$ como a função interna.
Agora, escrevemos $latex u=\sqrt{x}$ como $latex u=x^{\frac{1}{2}}$ para encontrar a derivada de $latex \frac{du}{dx}$:
$$\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
Então, como temos $latex f(u)=\csc(u)$, usamos a regra da cadeia:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=-\csc(u)\cot(u) \times \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
Substituindo $latex u=\sqrt{x}$ de volta e simplificando, temos:
$$\frac{dy}{dx}=-\csc(\sqrt{x})\cot(\sqrt{x}) \times \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{2\sqrt{x}}\csc(\sqrt{x})\cot(\sqrt{x})$$
Prática de derivadas de funções de cossecante compostas
Veja também
Interessado em aprender mais sobre derivadas de funções trigonométricas? Veja estas páginas:
Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
