A derivada da tangente é uma das primeiras funções transcendentais introduzidas no cálculo diferencial (ou cálculo I). A derivada da função tangente é igual a secante ao quadrado, sec²(x). Podemos provar esta derivada usando limites e identidades trigonométricas.
Neste artigo, discutiremos como derivar a função trigonométrica tangente. Abordaremos breves fundamentos, sua fórmula, uma comparação gráfica da tangente e sua derivada, uma demonstração, métodos para diferenciar e alguns exemplos.
Prova da derivada da função tangente usando limites
A função trigonométrica tangente de um ângulo é definida como a razão entre o lado oposto e o lado adjacente de um ângulo em um triângulo retângulo. Ilustrando-o através de uma figura, temos
onde C é 90°. Portanto, a obtenção da tangente do ângulo A pode ser avaliada como
$latex \tan{(A)} = \frac{a}{b}$
Antes de aprender a prova da derivada da função tangente, recomenda-se aprender o teorema de Pitágoras, Soh-Cah-Toa & Cho-Sha-Cao e o primeiro princípio dos limites como pré-requisitos.
Lembre-se de que qualquer função pode ser derivada igualando-a ao limite de
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$
Suponha que nos peçam para encontrar a derivada de
$latex f(x) = \tan{(x)}$
então temos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \tan{(x+h)} – \tan{(x)} }{h}}$$
Com esta equação, ainda não é possível expressar o limite devido ao denominador h onde se for substituído por zero, permanecerá indefinido. Portanto, podemos verificar se pode ser útil aplicar algumas identidades trigonométricas.
Analisando nossa equação, podemos ver que tanto o primeiro quanto o segundo termos no numerador do limite são uma tangente da soma de dois ângulos x e h e uma tangente do ângulo x. Com essa observação, podemos tentar aplicar as identidades de relacionamento definidoras para tangente, seno e cosseno. Aplicando isso, temos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \frac{\sin{(x+h)}}{\cos{(x+h)}} – \frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}} }{h}}$$
Reorganizando algebricamente aplicando algumas regras de fração, temos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \frac{\sin{(x+h)}\cos{(x)} – \cos{(x+h)}\sin{(x)}}{\cos{(x+h)}\cos{(x)}} }{h}}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \sin{(x+h)}\cos{(x)} – \cos{(x+h)}\sin{(x)} }{h\cos{(x+h)}\cos{(x)}}}$$
Observando o numerador rearranjado, podemos tentar aplicar as identidades de soma e diferença para seno e cosseno, também chamadas de identidades ptolomaicas.
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \sin{(x+h-x)} }{h\cos{(x+h)}\cos{(x)}}}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \sin{(h)} }{h\cos{(x+h)}\cos{(x)}}}$$
Reorganizando aplicando o limite do produto de duas funções, temos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ \sin{(h)} }{h} \cdot \frac{1}{\cos{(x+h)}\cos{(x)}} \right)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ \sin{(h)} }{h} \right)} \cdot \lim \limits_{h \to 0} {\left(\frac{1}{\cos{(x+h)}\cos{(x)}} \right)}$$
De acordo com os limites das funções trigonométricas, o limite da função trigonométrica $latex \sin{(\theta)}$ para $latex \theta$ quando $latex \theta$ se aproxima de zero é igual a um. O mesmo pode ser aplicado a $latex \sin{(h)}$ sobre $latex h$. Aplicando temos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {1} \cdot \lim \limits_{h \to 0} {\left(\frac{1}{\cos{(x+h)}\cos{(x)}} \right)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left(\frac{1}{\cos{(x+h)}\cos{(x)}} \right)}$$
Finalmente, tornamos possível avaliar o limite do que resta na equação. Substituindo o valor aproximado de $latex h$, temos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left(\frac{1}{\cos{(x+h)}\cos{(x)}} \right)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left(\frac{1}{\cos{(x+(0))}\cos{(x)}} \right)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left(\frac{1}{\cos{(x)}\cos{(x)}} \right)}$$
$$ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{1}{\cos{(x)}\cos{(x)}}$$
Sabemos pelas identidades que o inverso do cosseno da função trigonométrica é secante. Aplicando, temos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \frac{1}{\cos{(x)}} \cdot \frac{1}{\cos{(x)}}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \sec{(x)} \cdot \sec{(x)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \sec^{2}{(x)}$$
Portanto, a derivada da função trigonométrica ‘tangente’ é:
$$\frac{d}{dx} (\tan{(x)}) = \sec^{2}{(x)}$$
Gráfico da tangente de x vs. a derivada da tangente de x
Dada a função
$latex f(x) = \tan{(x)}$
seu gráfico é
E como já sabemos, diferenciando $latex f(x) = \tan{(x)}$, obtemos
$latex f'(x) = \sec^{2}{(x)}$
que é ilustrado graficamente como
Ilustrando os dois gráficos em um, temos
Analisando as diferenças dessas funções nesses gráficos, vemos que a função original $latex f(x) = \tan{(x)}$ tem domínio de
$$\left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$$
dentro dos intervalos finitos de
$latex \left(-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$
e existe dentro da imagem de
$latex (-\infty,\infty)$ ou todos os números reais
enquanto a derivada $latex f ‘(x) = \sec^{2}{(x)}$ tem domínio de
$$\left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$$
dentro dos intervalos finitos de
$latex \left(-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$
e existe dentro da imagem de
$latex [1,\infty)$ ou $latex y \geq 1$
Exemplos de derivadas de funções tangentes compostas
Abaixo estão alguns exemplos do uso da regra da cadeia para derivar uma função tangente composta.
EXEMPLO 1
Derive: $latex f(x) = \tan(5x)$
Solução
Analisando a função tangente dada, vemos que ela é uma tangente da função $latex 5x$. Então, temos de usar a regra da cadeia.
Podemos considerar $latex u=5x$ como a função interna. Então, temos $latex f(u)=\tan(u)$ e usando a regra da cadeia, temos:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=\sec^2(u) \times 5$$
Substituindo $latex u=5x$ de volta à função, temos:
$$\frac{dy}{dx}=5\sec^2(5x)$$
EXEMPLO 2
Derive: $latex F(x) = \tan{\left(3x^2+6 \right)}$
Solução
A regra da cadeia tem que ser usada para derivar esta função.
Expressamos a função tangente como $latex f (u) = \tan(u)$, onde $latex u = 3x^2+6$.
Agora, obtemos a derivada da função externa $latex f(u)$, que deve usar a derivada da função tangente, em termos de $latex u$.
$$\frac{d}{du} ( \tan{(u)} ) = \sec^{2}(u)$$
Então, obtemos a derivada da função interna $latex g(x)$ ou $latex u$:
$$\frac{d}{dx}(g(x)) = \frac{d}{dx}(3x^2+6)$$
$$\frac{d}{dx}(g(x)) = 6x$$
Aplique a fórmula básica da regra da cadeia multiplicando algebricamente a derivada da função externa $latex f(u)$ pela derivada da função interna $latex g(x)$.
$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$$
$$\frac{dy}{dx} = \sec^{2}{(u)} \cdot 6x$$
Finalmente, substitua $latex u$ por $latex f'(u)$ e simplifique:
$$\frac{dy}{dx} = \sec^{2}{(3x^2+6)} \cdot 6x$$
$$\frac{dy}{dx} = 6x\sec^{2}{(3x^2+6)}$$
$latex F'(x) = 6x\sec^{2}{(3(x^2+2))}$
EXEMPLO 3
Encontre a derivada de $latex f(x) = \tan(\sqrt{x})$.
Solução
Neste caso, temos a função raiz quadrada como a função interna da tangente. Podemos considerar $latex u=\sqrt{x}$ como a função interna.
Além disso, se escrevermos $latex u=\sqrt{x}$ como $latex u=x^{\frac{1}{2}}$, a derivada $latex \frac{du}{dx}$ é:
$$\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
Escrevendo $latex f(u)=\tan(u)$ e usando a regra da cadeia, temos:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=\sec^2(u) \times \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
Usando $latex u=\sqrt{x}$ e simplificando, temos:
$$\frac{dy}{dx}=\sec^2(\sqrt{x}) \times \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\sec^2(\sqrt{x})$$
Prática de derivadas de funções tangentes compostas
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
