Sistemas de equações 3×3 – Exercícios resolvidos

Um sistema de equações 3×3 é um sistema que consiste em três equações com três variáveis. Existem vários métodos para resolver um sistema de equações 3×3, tais como gráficos, substituição, e eliminação Gaussiana.

Neste artigo, aprenderemos como resolver sistemas de equações 3×3 utilizando os métodos de substituição e eliminação. Iremos analisar vários exercícios resolvidos para aprender sobre este tópico.

ÁLGEBRA
Exemplo de sistema de equações 3x3

Relevante para

Aprender sobre sistemas de equações 3×3 com exercícios.

Ver exercícios

ÁLGEBRA
Exemplo de sistema de equações 3x3

Relevante para

Aprender sobre sistemas de equações 3×3 com exercícios.

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Como resolver sistemas de equações 3×3?

Para resolver um sistema de três equações com três variáveis, podemos usar um dos vários métodos. Aqui estão duas abordagens comuns:

  1. Eliminação gaussiana: Este método consiste em adicionar ou subtrair equações para eliminar variáveis, uma de cada vez até que o sistema esteja na forma conhecida como forma reduzida de fileira. Uma vez que o sistema está nesta forma, é fácil de resolver para as variáveis.
  2. A regra de Cramer: Este método consiste em expressar a solução em termos de determinantes de certas matrizes. Para utilizar a regra de Cramer, é necessário poder calcular as determinantes, que podem ser um pouco mais complicadas do que os métodos utilizados na eliminação gaussiana.

Aqui está um exemplo de como resolver um sistema de três equações com três variáveis utilizando a eliminação gaussiana:

Suponhamos que temos o seguinte sistema:

$$\begin{cases} 3x + 4y – 2z = 0\\2x – 3y + 4z = 11\\x – 2y + 3z = 7 \end{cases}$$

Podemos começar por eliminar a variável x da segunda e terceira equações. Para tal, multiplicamos a segunda equação por 1 e a terceira por -2, e depois adicionamos as equações resultantes:

$$\begin{cases} 2x – 3y + 4z = 11\\-2x + 4y -6z = -14 \end{cases}$$

____________________

$latex y-2z=-3$

Depois, podemos eliminar a variável x da primeira e terceira equações, multiplicando a primeira equação por 1 e a terceira equação por -3, e depois adicionando as equações resultantes:

$$\begin{cases} 3x+4y-2z=0\\-3x+6y-9z=-21 \end{cases}$$

____________________

$latex 10y-11z=-21$

Finalmente, podemos multiplicar a equação $latex y-2z=-3$ por -10 e adicionar estas duas equações para eliminar a variável y:

$$\begin{cases} -10y+20z=30\\10y-11z=-21 \end{cases}$$

____________________

$latex 9z=9$

Resolvendo esta equação para z, descobrimos que $latex z = 1$.

Substituindo este valor na equação $latex y-2z=-3$, podemos resolver para y: $latex y = -1$.

Substituindo estes valores nas equações originais, podemos resolver para x: $latex x = 2$.

Portanto, a solução para o sistema é $latex x = 2$, $latex y = -1$ e $latex z = 1$.


Sistemas de equações 3×3 – Exercícios resolvidos

EXERCÍCIO 1

Encontrar a solução para o seguinte sistema de três equações com três incógnitas pelo método de substituição:

$$\begin{cases} x+y-2z=1\\2x-4y+z=0\\2y-3z=-1 \end{cases}$$

Solução

EXERCÍCIO 2

Temos o seguinte sistema de equações de três equações lineares com três incógnitas:

$$\begin{cases} \text{(i)}~~x+y+z=6 \\ \text{(ii)}~~x-y+2z=5 \\ \text{(iii)}~~x-y-3z=-10 \end{cases}$$

Mostrar, através do método de eliminação, que a solução é: $latex \left[ x=1,y=2,z=3 \right] $.

Solução

EXERCÍCIO 3

Tendo o seguinte sistema de equações

$$\begin{cases} \text{(i)}~~2x+3y+z=1 \\ \text{(ii)}~~6x-2y-z=-14 \\ \text{(iii)}~~3x+y-z=1 \end{cases}$$

Encontrar os valores de x, y, z que satisfazem o sistema.

Solução

EXERCÍCIO 4

Temos o seguinte sistema de três equações com três incógnitas:

$$\begin{cases} \text{(i)}~~\frac{x}{2}+\frac{y}{2}-\frac{z}{3}=3 \\ \text{(ii)}~~ \frac{x}{3}+\frac{y}{6}-\frac{z}{2}=-5 \\ \text{(iii)}~~\frac{x}{6}-\frac{y}{3}+\frac{z}{6}=0 \end{cases}$$

Obter a solução através do método de substituição.

Solução

EXERCÍCIO 5

Encontre as soluções para o seguinte sistema de equações:

$$\begin{cases} \text{(i)}~~x+y=5 \\ \text{(ii)}~~ x+z=6 \\ \text{(iii)}~~ y+z=7 \end{cases}$$

Solução

EXERCÍCIO 6

Resolver o seguinte sistema de equações:

$$\begin{cases} \text{(i)}~~3x+2y=2 \\ \text{(ii)}~~ 2y+2z=\frac{3}{2} \\ \text{(iii)}~~x+4z=\frac{4}{3} \end{cases}$$

Solução

EXERCÍCIO 7

Encontrar os valores das variáveis u, v, e w no seguinte sistema de equações:

$$\begin{cases} \text{(i)}~~\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=5 \\ \text{(ii)}~~ \frac{1}{u}+\frac{1}{w}=6 \\ \text{(iii)}~~\frac{1}{v}+\frac{1}{w}=7 \end{cases}$$

Solução

EXERCÍCIO 8

Resolver o seguinte sistema de equações:

$$\begin{cases} \text{(i)}~~ \frac{3}{u}+\frac{2}{v}=2 \\ \text{(ii)}~~\frac{2}{v}+\frac{2}{w}=\frac{3}{2} \\ \text{(iii)}~~ \frac{1}{u}+\frac{4}{w}=\frac{4}{3} \end{cases}$$

Solução

EXERCÍCIO 9

Encontrar os valores de x, y, e z que satisfazem simultaneamente as três equações dadas:

$$\begin{cases} \text{(i)}~~x+y=1 \\ \text{(ii)}~~y+z=-1 \\ \text{(iii)}~~x+z=-6 \end{cases}$$

Solução

EXERCÍCIO 10

Resolver o seguinte sistema de equações:

$$\begin{cases} \text{(i)}~~ 5x-3z=2 \\ \text{(ii)}~~ -y+2z=-5 \\ \text{(iii)}~~ x+2z=8 \end{cases}$$

Solução

Sistemas de equações 3×3 – Problemas de prática

Prática de sistemas de equações 3×3
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Encontre o valor de x no sistema de equações: $$\begin{cases} 2x-2y+z=-5 \\ 3x+y+3z=-1 \\ 4x-y-2z=-12 \end{cases}$$

Escreva o valor de x na caixa de entrada.

$latex x=$

Veja também

Quer saber mais sobre sistemas de equações? Pode visitar estas páginas:

Foto de perfil do autor Jefferson Huera Guzman

Jefferson Huera Guzman

Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.

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