Um sistema de equações 3×3 é um sistema que consiste em três equações com três variáveis. Existem vários métodos para resolver um sistema de equações 3×3, tais como gráficos, substituição, e eliminação Gaussiana.
Neste artigo, aprenderemos como resolver sistemas de equações 3×3 utilizando os métodos de substituição e eliminação. Iremos analisar vários exercícios resolvidos para aprender sobre este tópico.
Como resolver sistemas de equações 3×3?
Para resolver um sistema de três equações com três variáveis, podemos usar um dos vários métodos. Aqui estão duas abordagens comuns:
- Eliminação gaussiana: Este método consiste em adicionar ou subtrair equações para eliminar variáveis, uma de cada vez até que o sistema esteja na forma conhecida como forma reduzida de fileira. Uma vez que o sistema está nesta forma, é fácil de resolver para as variáveis.
- A regra de Cramer: Este método consiste em expressar a solução em termos de determinantes de certas matrizes. Para utilizar a regra de Cramer, é necessário poder calcular as determinantes, que podem ser um pouco mais complicadas do que os métodos utilizados na eliminação gaussiana.
Aqui está um exemplo de como resolver um sistema de três equações com três variáveis utilizando a eliminação gaussiana:
Suponhamos que temos o seguinte sistema:
$$\begin{cases} 3x + 4y – 2z = 0\\2x – 3y + 4z = 11\\x – 2y + 3z = 7 \end{cases}$$
Podemos começar por eliminar a variável x da segunda e terceira equações. Para tal, multiplicamos a segunda equação por 1 e a terceira por -2, e depois adicionamos as equações resultantes:
$$\begin{cases} 2x – 3y + 4z = 11\\-2x + 4y -6z = -14 \end{cases}$$
____________________
$latex y-2z=-3$
Depois, podemos eliminar a variável x da primeira e terceira equações, multiplicando a primeira equação por 1 e a terceira equação por -3, e depois adicionando as equações resultantes:
$$\begin{cases} 3x+4y-2z=0\\-3x+6y-9z=-21 \end{cases}$$
____________________
$latex 10y-11z=-21$
Finalmente, podemos multiplicar a equação $latex y-2z=-3$ por -10 e adicionar estas duas equações para eliminar a variável y:
$$\begin{cases} -10y+20z=30\\10y-11z=-21 \end{cases}$$
____________________
$latex 9z=9$
Resolvendo esta equação para z, descobrimos que $latex z = 1$.
Substituindo este valor na equação $latex y-2z=-3$, podemos resolver para y: $latex y = -1$.
Substituindo estes valores nas equações originais, podemos resolver para x: $latex x = 2$.
Portanto, a solução para o sistema é $latex x = 2$, $latex y = -1$ e $latex z = 1$.
Sistemas de equações 3×3 – Exercícios resolvidos
EXERCÍCIO 1
Encontrar a solução para o seguinte sistema de três equações com três incógnitas pelo método de substituição:
$$\begin{cases} x+y-2z=1\\2x-4y+z=0\\2y-3z=-1 \end{cases}$$
Solução
Numeramos as equações como (i), (ii), (iii):
$$\begin{cases} \text{(i)}~~ x+y-2z=1\\\text{(ii)}~~ 2x-4y+z=0\\ \text{(iii)}~~2y-3z=-1 \end{cases}$$
A partir da terceira (iii), isolamos z:
$latex z=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3} $
Substituir z em (ii) para obter (ii’):
$$2x-4y+\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}=\ 2x-\frac{10}{3}y+\frac{1}{3}=0 \; \; \text{(ii’)}$$
Também substituímos z em (i) para obter (i’):
$$ x+y-2(\frac{2}{3}y+\frac{1}{3})=\, x-\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}=1 \; \; \text{(i’)} $$
A partir da equação acima (i’) isolamos y: $latex y=3x-5 $.
Substituindo y em (ii’), obtemos: $latex 17-8x=0$. Subtraindo, temos:
$$ x=\frac{17}{8}$$
Substituir o valor encontrado de x em (i’) e isolar y: $latex \frac{17}{8}-\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}=1$
para obter:
$$y=\frac{11}{8}$$
Finalmente, substituímos x e y na equação (i) e resolvemos para z:
$$\frac{17}{8}+\frac{11}{8}-2z=1$$
$$z=\frac{5}{4}$$
Resumindo, a solução para o sistema é:
$$\left[ x=\frac{17}{8},y=\frac{11}{8},z=\frac{5}{4}\right] $$
EXERCÍCIO 2
Temos o seguinte sistema de equações de três equações lineares com três incógnitas:
$$\begin{cases} \text{(i)}~~x+y+z=6 \\ \text{(ii)}~~x-y+2z=5 \\ \text{(iii)}~~x-y-3z=-10 \end{cases}$$
Mostrar, através do método de eliminação, que a solução é: $latex \left[ x=1,y=2,z=3 \right] $.
Solução
Subtraindo (i) menos (ii) obtemos: $latex 2y-z=1 $
Subtrair (ii) menos (iii) dá: $latex 5z=15$.
Segue-se que: $latex z=3 $
Substituindo na penúltima expressão, ficamos com: $latex 2y-3=1 $, cuja solução é: $latex y=2 $.
Finalmente, substituímos os valores obtidos na equação (i): $latex x+2+3=6$.
E temos: $latex x=1 $.
EXERCÍCIO 3
Tendo o seguinte sistema de equações
$$\begin{cases} \text{(i)}~~2x+3y+z=1 \\ \text{(ii)}~~6x-2y-z=-14 \\ \text{(iii)}~~3x+y-z=1 \end{cases}$$
Encontrar os valores de x, y, z que satisfazem o sistema.
Solução
Vamos aplicar o método de eliminação.
Multiplique a equação (i) por 3 e a equação (ii) por -1 e adicione-as em conjunto:
$$3(2x+3y+z)-(6x-2y-z)=3(1)-(-14) $$
x é cancelado para obter: $latex 11y+4z=17 $ (I)
Multiplique a equação (ii) por 1 e a equação (iii) por -2 e adicione-as em conjunto:
$$ (6x-2y-z)-2(3x+y-z)=(-14)-2(1) $$
x é eliminada para obter: $latex z-4y=-16 $ (II)
Subtrair (I) menos 4(II):
$$(11y+4z)-4(z-4y)=(17)-4(-16)$$
z é eliminada para ter: $latex 27y=81 $ (III)
De eq.(III) resolvemos para y: $latex 27y=81 $, e obtemos: $latex y=3 $.
Substituir o valor obtido de y em (II): $latex z-4(3)=-16 $, cuja solução é: $latex z=-4 $.
Finalmente, substituímos os valores obtidos para z e y em (i): $latex 2x+3(3)+(-4)=1$.
Ao subtrair x: $latex 2x+3(3)+(-4)=1$, obtemos: $latex x=-2$.
A solução para o sistema é: $latex \left[ x=-2,y=3,z=-4\right] $
EXERCÍCIO 4
Temos o seguinte sistema de três equações com três incógnitas:
$$\begin{cases} \text{(i)}~~\frac{x}{2}+\frac{y}{2}-\frac{z}{3}=3 \\ \text{(ii)}~~ \frac{x}{3}+\frac{y}{6}-\frac{z}{2}=-5 \\ \text{(iii)}~~\frac{x}{6}-\frac{y}{3}+\frac{z}{6}=0 \end{cases}$$
Obter a solução através do método de substituição.
Solução
A partir de (iii) resolvemos para z: $latex \frac{x}{6}-\frac{y}{3}+\frac{z}{6}=0 $,
E temos: $latex z=2y-x $ (iii’)
Substituindo em (ii): $latex \frac{x}{3}+\frac{y}{6}-\frac{2y-x}{2}=-5 $
Agora, isolamos y: $latex y=x+6 $ (ii’)
Substituindo (ii’) em (iii’): $latex z=2(x+6)-x=\; x+12 $, ou seja: $latex z=x+12 $ (iv)
Os valores obtidos em (ii’) e (iv) são utilizados na equação (i):
$$\frac{x}{2}+\frac{x+6}{2}-\frac{x+12}{3}=3 $$
E a variável x é isolada: $latex x=6$.
Agora substituir o valor obtido em (ii’) e resolver para y: $latex y=6+6=12$.
Finalmente, substituímos o valor de x em (iv): $latex z=6+12=18$.
Em resumo, a solução para o sistema de equações é: $latex \left[ x=6,y=12,z=18 \right] $
EXERCÍCIO 5
Encontre as soluções para o seguinte sistema de equações:
$$\begin{cases} \text{(i)}~~x+y=5 \\ \text{(ii)}~~ x+z=6 \\ \text{(iii)}~~ y+z=7 \end{cases}$$
Solução
Subtraindo (i) menos (ii) obtemos:
$latex y-z=-1$ (ii’)
Subtraindo a equação acima (ii’) menos (iii) dá:
$$-2z=-8$$
Segue-se que: $latex z=4$.
Substituindo o valor obtido por z em eq.(iii) ficamos com:
$latex y+4=7$, do qual obtemos: $latex y=3$.
Finalmente, o valor obtido de y é substituído em (i):
$latex x+3=5$, do qual obtemos: $latex x=2$.
Em resumo, o sistema de equações tem a seguinte solução:
$$\left[ x=2,y=3,z=4\right] $$
EXERCÍCIO 6
Resolver o seguinte sistema de equações:
$$\begin{cases} \text{(i)}~~3x+2y=2 \\ \text{(ii)}~~ 2y+2z=\frac{3}{2} \\ \text{(iii)}~~x+4z=\frac{4}{3} \end{cases}$$
Solução
Vamos aplicar o método de eliminação.
Subtraindo a equação (ii) de (i):
$$(3x+2y=2)-\left(2y+2z= \frac{3}{2} \right)$$
==> $latex 3x-2z = \dfrac{1}{2}$ (I)
2(I) + (iii):
$$2(3x-2z=\frac{1}{2})+\left(x+4z=\frac{4}{3}\right)$$
==> $latex 7x=\frac{7}{3}$
==> $latex x=\frac{1}{3}$
Substituindo $latex x=\frac{1}{3}$ em (i):
$latex 3(\frac{1}{3})+2y=2$ ==> $latex 2y+1=2$,
obtendo: $latex y=\frac{1}{2}$
O valor obtido de y é substituído em (ii): $latex 2(\frac{1}{2})+2z=3/2$
e temos: $latex z=\frac{1}{4}$
Resumindo, a solução para o sistema de equações é:
$$\left[ x=\frac{1}{3},y=\frac{1}{2},z=\frac{1}{4}\right] $$
EXERCÍCIO 7
Encontrar os valores das variáveis u, v, e w no seguinte sistema de equações:
$$\begin{cases} \text{(i)}~~\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=5 \\ \text{(ii)}~~ \frac{1}{u}+\frac{1}{w}=6 \\ \text{(iii)}~~\frac{1}{v}+\frac{1}{w}=7 \end{cases}$$
Solução
Começamos por fazer a seguinte alteração de variáveis:
$$x=\frac{1}{u}$$
$$y=\frac{1}{v}$$
$$z=\frac{1}{w}$$
E temos:
$$\begin{cases} \text{(i)}~~x+y=5 \\ \text{(ii)}~~ x+z=6 \\ \text{(iii)}~~y+z=7 \end{cases}$$
A solução deste sistema é: $latex \left[ x=2,y=3,z=4\right] $ (veja exercício 5).
A mudança de variável feita anteriormente é agora invertida:
$latex u=\frac{1}{x}$ substituindo x=2 temos: $latex u=\frac{1}{2}$
$latex v=\frac{1}{y}$ substituindo y=3 temos: $latex v=\frac{1}{3}$
$latex w=\frac{1}{z}$ substituindo z=4 temos: $latex w=\frac{1}{4}$
EXERCÍCIO 8
Resolver o seguinte sistema de equações:
$$\begin{cases} \text{(i)}~~ \frac{3}{u}+\frac{2}{v}=2 \\ \text{(ii)}~~\frac{2}{v}+\frac{2}{w}=\frac{3}{2} \\ \text{(iii)}~~ \frac{1}{u}+\frac{4}{w}=\frac{4}{3} \end{cases}$$
Solução
The following variable change is made:
$$ x=\frac{1}{u}$$
$$y=\frac{1}{v}$$
$$z=\frac{1}{w}$$
E temos:
$$\begin{cases} \text{(i)}~~ 3x+2y=2 \\ \text{(ii)}~~2y+2z=\frac{3}{2} \\ \text{(iii)}~~ x+4z=\frac{4}{3} \end{cases}$$
e a sua solução é: $latex \left[ x=\frac{1}{3},y=\frac{1}{2},z=\frac{1}{4}\right] $ (veja exercício 6)
A mudança de variável feita anteriormente é agora invertida:
$latex u=\frac{1}{x}$ substituindo x=1/3 temos: $latex u=3$
$latex v=\frac{1}{y}$ substituindo y=1/2 temos: $latex v=2$
$latex w=\frac{1}{z}$ substituindo z=1/4 temos: $latex w=4$
EXERCÍCIO 9
Encontrar os valores de x, y, e z que satisfazem simultaneamente as três equações dadas:
$$\begin{cases} \text{(i)}~~x+y=1 \\ \text{(ii)}~~y+z=-1 \\ \text{(iii)}~~x+z=-6 \end{cases}$$
Solução
Subtraindo (i) menos (ii) :
$latex (x+y=1)-(y+z=-1)$ we get: $latex x-z=2$ (ii’)
Adicionando a equação acima (ii’) mais (iii):
$latex(x-z=2)+(x+z=-6)$ we get: $latex 2x=-4$
E temos: $latex x=-2$.
Substituindo o valor obtido para x em eq.(i), temos:
$latex -2+y=1$, temos: $latex y=3$
Finalmente, o valor obtido de y é substituído em (ii):
$latex 3+z=-1$, temos: $latex z=-4$
Em resumo, o sistema de equações tem a seguinte solução:
$$\left[ x=-2,y=3,z=-4\right] $$
EXERCÍCIO 10
Resolver o seguinte sistema de equações:
$$\begin{cases} \text{(i)}~~ 5x-3z=2 \\ \text{(ii)}~~ -y+2z=-5 \\ \text{(iii)}~~ x+2z=8 \end{cases}$$
Solução
Vamos aplicar o método de eliminação.
2(i) + 3(ii):
$$2(5x-3z=2)+3(-y+2z=-5)$$
==> $latex 10x-3y=-11$ (I)
(ii) – (iii):
$$(-y+2z=-5)-(x+2z=8)$$
==> $latex x+y=13$ (II)
(I)+3(II):
$$(10x-3y=-11)+3(x+y=13)$$
que se reduz a: $latex13x=28$, obtendo: $latex x=\frac{28}{13}$
Substituindo $latex x=\frac{28}{13}$ em (iii): $latex \frac{28}{13}+2z=8$, encontramos o valor de z: $latex z=\frac{38}{13}$
O valor obtido de z é substituído em (ii): $latex -y+2(\frac{38}{13})=-5$, e temos: $latex y=\frac{141}{13}$
Resumindo, a solução para o sistema de equações é:
$$\left[ x=\frac{28}{13},y=\frac{141}{13},z=\frac{38}{13}\right]$$
Sistemas de equações 3×3 – Problemas de prática
Encontre o valor de x no sistema de equações: $$\begin{cases} 2x-2y+z=-5 \\ 3x+y+3z=-1 \\ 4x-y-2z=-12 \end{cases}$$
Escreva o valor de x na caixa de entrada.
Veja também
Quer saber mais sobre sistemas de equações? Pode visitar estas páginas:
Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
