Para uma relação ser uma função, podemos ter dois casos. O primeiro ocorre quando a relação é de um para um e o segundo caso ocorre quando a relação é de muitos para um. Essencialmente, isso significa que uma função pode ter vários valores de entrada produzindo o mesmo valor de saída, mas não várias saídas produzidas por uma única entrada.
A seguir, conheceremos os dois casos de relações que são consideradas funções. Além disso, veremos alguns exemplos para aplicar os conceitos.
Caso (i): Relação um-para-um
Vamos considerar dois conjuntos não vazios A e B. Uma relação de A para B é uma regra que associa cada elemento do conjunto A a um elemento do conjunto B.
Uma relação pode ser representada usando um diagrama de mapeamento. Considere a seguinte relação com os conjuntos A={-2, -1, 0, 1, 2} e B={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
No caso (i), observamos que cada elemento do conjunto A está relacionado a apenas um elemento do conjunto B. Esta é a chamada relação um-para-um.
O fato de não haver elementos do conjunto A relacionados aos elementos 0 ou 1 do conjunto B não é importante.
Uma relação um-para-um é chamada de função. Normalmente, denotamos usando f a regra que associa cada elemento de A a um elemento de B.
Por exemplo, na relação acima, a regra é “adicionar 4”. Usando a notação de função, podemos escrever:
$latex f(x)=x+4~~$ ou $latex ~~f:~x\rightarrow x+4$
Caso (ii): Relação muitos para um
Novamente, vamos considerar os conjuntos A={-2, -1, 0, 1, 2} e B={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, mas neste caso, temos a seguinte relação:
No caso (ii) observamos que dois elementos do conjunto A estão relacionados a um elemento do conjunto B. Esta é uma relação de dois para um ou uma relação de muitos para um.
Uma relação muitos-para-um também é chamada de função.
Por exemplo, na relação acima, a regra é “quadrado”. Usando a notação de função, podemos escrever:
$latex f(x)=x^2~~$ ou $latex ~~f:~x\rightarrow x^2$
Exemplos de relações que são funções
Nos exemplos a seguir, podemos aplicar o que aprendemos sobre relação um para um e muitos para um para determinar que tipo de relação são as funções a seguir.
EXEMPLO 1
Determine se a função $latex f(x)=\frac{x}{2}+2$ é uma função um-para-um ou muitos-para-um.
Solução: O gráfico da função f é o seguinte:
Vemos que o gráfico de $latex f(x)=\frac{x}{2}+2$ é uma linha reta. Além disso, vemos que a função é injetora, pois cada valor de x está relacionado a apenas um valor de y.
EXEMPLO 2
Determina se a função $latex f(x)=x^2+1$ é uma função um para um ou muitos para um.
Solução: Como temos $latex f(-1)=(-1)^2+1=2$ e $latex f(1)=1^2+1=2$, sabemos que a função não um. Seu gráfico é:
Olhando para o gráfico da função, vemos que esta função é muitos para um, especificamente dois para um.
EXEMPLO 3
A função $latex f(x)=(x^4+1)^2-3$ é uma função um para um ou muitos para um?
Solução: Uma maneira de determinar se uma função é muitos-para-um é usar o teste $latex f(-1)=f(1)$. Então temos:
$latex f(1)=(1^4+1)^2-3$
$latex =(2)^2-3$
$latex =4-3$
$latex =1$
$latex f(-1)=((-1)^4+1)^2-3$
$latex =(2)^2-3$
$latex =4-3$
$latex =1$
Vemos que $latex f(-1)=f(1)$ é verdadeiro. Isso significa que a função é muitos para um.
Nota: Observe que o teste $latex f(-1)=f(1)$ funciona apenas quando a função é simétrica em relação ao eixo y.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
