Como encontrar a imagem de uma função?

A imagem de uma função pode ser encontrada fazendo um gráfico da função e identificando todos os valores de y que são possíveis com o domínio da função. Em algumas funções, como funções lineares, funções cúbicas ou a função tangente, a imagem da função é igual a todos os números reais.

A seguir, aprenderemos como encontrar a imagem de uma função usando seu gráfico. Veremos alguns exemplos para ilustrar o processo utilizado.

ÁLGEBRA
domínio e imagem de gráfico parcial da função trigonométrica

Relevante para

Aprender a encontrar a imagem de uma função.

Ver método

ÁLGEBRA
domínio e imagem de gráfico parcial da função trigonométrica

Relevante para

Aprender a encontrar a imagem de uma função.

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Método para encontrar a imagem de uma função

Para encontrar a imagem de uma função, é sempre útil desenhar um gráfico simples da função. Por exemplo, suponha que temos a função $latex f(x)=2x$, que é definida para todos os valores reais de x. Assim, segue o seu gráfico:

Gráfico-de-função-linear-com-imagem

A imagem da função $latex f(x)$ é o conjunto de todos os valores de saída da função. Ou seja, o intervalo é a parte do eixo y que é usada pela função. Nesta função, a imagem é o conjunto de todos os números reais.

Para indicar que a imagem são todos os números reais, podemos escrever

{$latex f(x):f(x)\in \mathbb{R}$}

ou simplesmente, podemos escrever $latex f(x) \in \mathbb{R}$.

Quando uma função é definida por um domínio restrito, a imagem da função também pode ser restrito. Por exemplo, considere a seguinte função e seu gráfico:

Imagem-de-função-linear-com-domínio-restrito

$latex f(x)=2x$, $latex ~~-1<x<4$

A imagem da função é o conjunto dos números reais de -2 a 8, excluindo -2 e 8, pois -1 e 4 são excluídos do domínio da função. Escrevemos este intervalo como

$latex -2<f(x)<8$


Exemplos de imagem de funções

Nos exemplos a seguir, podemos aplicar o que aprendemos sobre a imagem de uma função. Cada um dos exemplos tem uma solução detalhada usando o gráfico da função.

EXEMPLO 1

Encontre a imagem da função $latex f(x)={{x}^2}+1$.

Solução: A função $latex f(x)={{x}^2}+1$ é definida para todos os valores reais de x, pois não há restrições quanto ao valor de x. Seu gráfico é o seguinte:

gráfico-de-função-quadrática-1

Como $latex {{x}^2}$ nunca é negativo, $latex {{x}^2}+1$ nunca é menor que 1. Portanto, a imagem de $latex f(x)$ é:

“Todos os números reais $latex f(x) \geq 1$”

O gráfico indica claramente que os valores de f(x) nunca são inferiores a 1.

EXEMPLO 2

Encontre a imagem da função $latex f(t)=\sqrt{5-t}$.

Solução: Esta é uma função de raiz quadrada. Seu gráfico é o seguinte:

gráfico-da-função-irracional-1

Podemos ver que a função $latex f(t)$ não resulta em valores negativos. Então sua imagem é:

“Todos os números reais, $latex f(t)\geq 0$”

A imagem são todos os números reais maiores ou iguais a 0.

EXEMPLO 3

Qual é a imagem da função $latex f(x)=2x-1$, para $latex x\geq 0$.

Solução: Neste caso, a função $latex f(x)$ tem os valores de x restritos a números iguais ou maiores que 0. Assim, temos o seguinte gráfico:

Imagem-de-função-linear-com-domínio-restrito-exemplo-3

A partir do gráfico, podemos ver que quando $latex x\geq 0$, temos $latex f(x)\geq -1$. Assim, a imagem da função é:

“Todos os números reais, $latex f(x)\geq -1$”

EXEMPLO 4

Encontre a imagem da função $latex f(x)= \frac{1}{x+3}$.

Solução: Esta é uma função racional que tem o seguinte gráfico:

gráfico-da-função-racional-1

A função $latex f(x)= \frac{1}{x+3}$ não está definida para $latex x=-3$ porque isso resultaria na divisão por zero (teríamos um 0 no denominador).

A partir do gráfico, podemos ver que os valores de $latex f(x)$ podem ser qualquer valor, exceto zero. Se tentarmos resolver a equação para y = 0, temos:

$latex 0= \frac{1}{x+3}$

Multiplicando ambos os lados por $latex x+3$, temos:

$latex 0= 1$

Isto é impossível. Portanto, a imagem de $latex f(x)$ é:

“Todos os números reais, exceto zero”


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Jefferson Huera Guzman

Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.

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