Uma função par é uma função que tem um gráfico com simetria em torno do eixo y. Por outro lado, a função ímpar tem um gráfico com simetria rotacional de 180° em relação à origem. Uma função é par quando f(-x) = f(x) e é ímpar quando f(-x) = f(x).
A seguir, aprenderemos como determinar se uma função é par ou ímpar tanto graficamente quanto algebricamente. Veremos alguns exercícios para praticar os conceitos.
Determinar se uma função é par ou ímpar graficamente
Como os gráficos de funções pares e ímpares têm características únicas, podemos determinar se uma função é par ou ímpar usando seu gráfico.
Função par: O gráfico da função par é simétrico em relação ao eixo y. Isso significa que, se dobrarmos a função no eixo y, obteríamos duas partes iguais do gráfico.
Por exemplo, a função $latex f(x)=x^2$ é uma função par porque tem simetria no eixo y, conforme mostrado no gráfico a seguir:
Função ímpar: O gráfico da função ímpar tem simetria rotacional de 180° em relação à origem. Isso significa que, se girarmos o gráfico em 180°, o gráfico permanecerá inalterado.
Por exemplo, a função $latex f(x)=x^3$ é uma função ímpar porque seu gráfico não muda quando giramos 180° em torno da origem:
Determinar se uma função é par ou ímpar algebricamente
Quando não temos um gráfico da função, podemos determinar se uma função é par ou ímpar algebricamente. Para isso, consideramos o seguinte.
Função par: Uma função é par se $latex f(-x)=f(x)$ para todos os valores de x que pertencem ao domínio da função.
Por exemplo, a função $latex f(x)=x^2$ é par, pois:
$latex f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$
Função ímpar: Uma função é ímpar se $latex f(-x)=-f(x)$ para todos os valores de x que pertencem ao domínio da função.
Por exemplo, a função $latex f(x)=x^3$ é ímpar, pois:
$latex f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)$
Resumindo, se temos uma função f tal que $latex f(-x)=f(x)$, a função é par. Se tivermos uma função f tal que $latex f(-x)=-f(x)$, a função é ímpar
Determinar se uma função é par ou ímpar – Exercícios resolvidos
Métodos gráficos e algébricos são usados para resolver os seguintes exercícios de funções pares e ímpares. Tente resolver os exercícios antes de olhar para a solução.
EXERCÍCIO 1
Prove que a função $latex f(x)=x^2-2$ é par.
Solução
O gráfico da função $latex f(x)=x^2-2$ é igual ao gráfico de $latex f(x)=x^2$ traduzido 2 unidades abaixo:
Claramente, vemos que o gráfico de $latex f(x)=x^2-2$ é simétrico em relação ao eixo y, então a função é par.
EXERCÍCIO 2
Prove que a função $latex f(x)=2x^4+x^2-1$ é uma função par.
Solução
Demonstrar isso graficamente seria mais difícil. Então, vamos provar algebricamente.
Se a função for par, devemos ter $latex f(-x)=f(x)$. Assim, verificamos:
$latex f(-x)=2(-x)^2+(-x)^2-1$
$latex f(-x)=2x^2+x^2-1$
Vemos que obtivemos a função original, então provamos que a função é par.
EXERCÍCIO 3
Prove que a função $latex f(x)=4x^3-x$ é uma função ímpar.
Solução
Funções ímpares são geralmente difíceis de demonstrar graficamente. Então, vamos provar algebricamente.
Se uma função é ímpar, devemos ter $latex f(-x)=-f(x)$. Então, verificamos isso:
$latex f(-x)=4(-x)^3-(-x)$
$latex f(-x)=-4-x^3+x$
A expressão do lado direito que temos é equivalente a ter $latex -f(x)$. Isso significa que a função é ímpar.
EXERCÍCIO 4
Determina se a função $latex f(x)=3x^2-|x|$ é par ou ímpar.
Solução
Para provar se uma função é par ou ímpar, podemos começar realizando o teste de função par. Se a função falhar nesse teste, podemos prosseguir com o teste de função ímpar.
Então, para uma função ser par, devemos ter $latex f(-x)=f(x)$. Verificando, temos:
$latex f(-x)=3(-x)^2-|-x|$
$latex f(-x)=3x^2-|x|$
Vemos que a expressão que obtivemos é igual a $latex f(x)$, então a função é par.
Como a função é par, não precisamos o teste de funções ímpares.
EXERCÍCIO 5
Determine se a função $latex f(x)=\frac{1}{x}+x$ é par ou ímpar.
Solução
Novamente, podemos começar com o teste de funções pares e depois realizar o teste de funções ímpares.
Para uma função ser par, devemos ter $latex f(-x)=f(x)$. Verificando, temos:
$latex f(-x)=\frac{1}{-x}+(-x)$
$latex f(-x)=-\frac{1}{x}-x$
Vemos que a expressão que obtivemos não é igual a $latex f(x)$, então a função não é par. Então, continuamos com o teste de funções ímpares.
Para uma função ser ímpar, devemos ter $latex f(-x)=-f(x)$. Observando a expressão que obtivemos acima, vemos que a expressão retornada é realmente igual a $latex -f(x)$, então a função é ímpar.
EXERCÍCIO 6
Determina se a função $latex f(x)=(x^3-5)^2$ é par, ímpar ou nenhum dos dois.
Solução
Começamos com a prova de funções pares. Então, verificamos se $latex f(-x)=f(x)$:
$latex f(-x)=((-x)^3-5)^2$
$latex f(-x)=(-x^3-5)^2$
A expressão que obtivemos não é igual a $latex f(x)$. Então, continuamos com o teste de funções ímpares.
Para verificar se a função é ímpar, devemos ter $latex f(-x)=-f(x)$. No entanto, a função também não é ímpar, pois a expressão obtida acima não é igual a $latex -f(x)$.
Nota: $latex -f(x)$ seria igual a $latex -(x^3-5)^2$.
Determinar se uma função é par ou ímpar – Exercícios para resolver
Use os testes de função ímpar e par para resolver os exercícios a seguir. Você pode usar os exercícios resolvidos acima como um guia.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
