O que se segue são as propriedades de desigualdades:
| Propriedade de adição | Para os números reais x, y e z,• Se tiver-mos x<y, então x+z<y+z. |
| Propriedade de subtração | Para os números reais x, y e z,• Se tiver-mos x<y, então x-z<y-z. |
| Propriedade de multiplicação | Para os números reais x, y e z,• Se tiver-mos x<y, então:• xz<yz, se z>0• xz>yz, se z<0• xz=yz, se z=0 |
| Propriedade anti-simétrica | Para os números reais x e y,• Se tiver-mos x<y, então y≮ x.• Se tiver-mos x>y, então y≯ x. |
| Propriedade transitiva | Para os números reais x, y e z,• Se tiver-mos x<y e y<z, então, x<z.• Se tiver-mos x>y e y>z, então, x>z. |
Propriedades de adição e subtração
Quando adicionamos z a ambos os lados da desigualdade, estamos simplesmente movendo toda a desigualdade, então a desigualdade permanece a mesma:
Se tiver-mos $latex x>y$, então, $latex x+z>y+z$
Da mesma forma, temos o seguinte:
- Se tiver-mos $latex x>y$, então $latex x-z>y-z$
- Se tiver-mos $latex x<y$, então $latex x+z<y+z$
- Se tiver-mos $latex x<y$, então $latex x-z<y-z$
Isso significa que adicionar ou subtrair o mesmo valor de x e y não mudará para a desigualdade.
EXEMPLO
- Carlos tem menos dinheiro que Matías.
Se Carlos e Matías receberem USD 5 cada, Carlos ainda terá menos dinheiro que Matías. O relacionamento não mudou.
Propriedades de multiplicação e divisão
Quando multiplicamos x e y por um número positivo, a desigualdade permanece a mesma.
No entanto, quando multiplicamos x e y por um número negativo, a desigualdade se inverte.
$latex x>y$ se volta $latex x<y$ multiplicando por -2
Mas a desigualdade permanece a mesma quando multiplicada por 2
Estas são as regras:
- Se tiver-mos $latex x<y$ e z es positivo, então $latex xz<yz$
- Se tiver-mos $latex x<y$ e z es negativo, então $latex xz>yz$ (o sinal vira)
O seguinte é um exemplo de multiplicação por um número positivo:
EXEMPLO
Carolina obteve uma nota 4, que é menor que a nota 5 que Ricardo obteve.
$latex x<y$
Se Carolina e Ricardo conseguirem dobrar sua classificação (multiplique por 2), a classificação de Carolina continuará a ser inferior à de Ricardo.
$latex 2x <2y$
Agora vamos ver o que acontece ao multiplicar por um negativo:
EXEMPLO
- Se as avaliações ficarem negativas (multiplique por -1), Carolina perde 4 pontos e Ricardo perde 5 pontos.
Isso significa que Carolina agora tira uma nota mais alta do que Ricardo.
$latex -x>-y$
Propriedade transitiva
Quando relacionamos as desigualdades em ordem, podemos pular a desigualdade do meio.
Se tiver-mos $latex x<y$ e $latex y<z$, então $latex x<z$.
Da mesma forma, se tiver-mos $latex x>y$ e $latex y>z$, então $latex x>z$.
EXEMPLO
- Se Victor for mais velho que Ricardo e,
- Se Ricardo é mais velho que Andre,
então, Victor deve ser mais velho que Andre.
Propriedade anti-simétrica
Os valores xey não podem ser trocados se mantivermos o mesmo sinal de desigualdade.
- Se tiver-mos $latex x>y$, isso é diferente de $latex y>x$, então, temos $latex y\ngtr x$
- Se tiver-mos $latex x<y$, isso é diferente de $latex y<x$, então, temos $latex y\nless x$
Se alterarmos os valores x e y, devemos nos certificar de alterar o sinal de desigualdade:
- Se tiver-mos $latex x>y$, então, $latex y<x$
- Se tiver-mos $latex x<y$, então, $latex y>x$
EXEMPLO
- Se Victor for mais velho que Ricardo, Ricardo é mais jovem que Victor.
Veja também
Você quer aprender mais sobre desigualdades? Olha para estas páginas:
Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
