Problemas e exercícios de inequações podem ser resolvidos com um processo semelhante ao que usamos para resolver equações. A principal diferença em relação às inequações é que temos que mudar o lado do sinal de inequações quando multiplicamos ou dividimos por números negativos.
A seguir, veremos um resumo sobre como resolver inequações. Além disso, veremos vários exercícios resolvidos para dominar o processo de resolução de inequações.
Processo usado para resolver inequações
Lembre-se de que as inequações são relações que comparam dois valores usando os sinais maior que (>), menor que (<), maior ou igual a (≥) e menor ou igual a (≤). Por exemplo, $latex 3x<6$ e $latex 2x + 2>3$ são inequações.
Para resolver as inequações, podemos seguir os seguintes passos:
Passo 1: Simplificamos a inequação, se possível. Isso inclui a remoção de sinais de agrupamento, como parênteses, combinação de termos semelhantes e remoção de frações.
Passo 2: Resolva para a variável. Temos que realizar adição e subtração para que todas as variáveis estejam localizadas em um lado da inequação e as constantes no outro lado.
Passo 3: Resolva. Usamos divisão ou multiplicação para encontrar a resposta. Nota: Quando multiplicamos ou dividimos a inequação por um número negativo, devemos trocar os lados do sinal de inequação.
Passo 4: Se for necessário fazer um gráfico, devemos lembrar que usamos um ponto vazio para indicar que o número limitante não faz parte da solução e usamos um ponto preenchido para indicar que o número limitante faz parte da solução.
Por exemplo, se a solução é $latex x>2$, o 2 não faz parte da solução, então usamos um ponto vazio e se a solução é $latex x \ge 2$, o 2 é parte da solução, então usamos um ponto cheio.
Exercícios resolvidos de inequações
EXERCÍCIO 1
Resolva e represente graficamente a inequação $latex 3x-5>1$.
Solução
- Começamos escrevendo o problema original:
$latex 3x-5>1$
- Para resolver a variável, adicionamos 5 a ambos os lados da desigualdade:
$latex 3x-5+5>1+5$
- Depois de simplificar, a expressão se reduz a:
$latex 3x>6$
- Para resolver, dividimos ambos os lados por 3:
$latex \frac{3}{3}x> \frac{6}{3}$
$latex x> 2$
- Representamos graficamente a desigualdade com um ponto aberto, uma vez que 2 não está incluído na solução. A solução são todos os números à direita de 2:
EXERCÍCIO 2
Resolva e represente graficamente a inequação $latex 5x-10 <15$.
Solução
Passo 1: Aqui, não temos nada para simplificar, então começamos com:
$latex 5x-10<15$
Passo 2: Para resolver a variável, adicionamos 10 de ambos os lados e simplificamos:
$latex 5x-10+10<15+10$
$latex 5x<25$
Passo 3: Para resolver, dividimos ambos os lados por 5:
$latex \frac{5}{5}x<\frac{25}{5}$
$latex x<5$
Passo 4: Para representar graficamente, notamos que as soluções para a desigualdade são todos números reais à esquerda de 5. O 5 não está incluído, então usamos um ponto vazio para indicar isso:
EXERCÍCIO 3
Resolva e represente graficamente a inequação $latex -4x-5 \leq 3$.
Solução
Passo 1: Não temos nada para simplificar, então começamos com:
$latex -4x-5\leq 3$
Passo 2: Adicionamos 5 a ambos os lados para resolver a variável:
$latex -4x-5+5\leq 3+5$
$latex -4x\leq 8$
Passo 3: Dividimos ambos os lados por -4 para obter:
$latex \frac{-4}{-4}x\leq\frac{8}{-4}$
$latex x\geq -2$
Não se esqueça de mudar o sinal de desigualdade ao multiplicar ou dividir por um número negativo. |
Passo 4: Nesse caso, -2 faz parte da solução. Portanto, usamos um ponto sólido para indicar que as soluções são todos números à direita de -2, incluindo -2.:
EXERCÍCIO 4
Resolva e represente graficamente a inequação $latex 4x+2 \geq 2x+10$.
Solução
Nesse caso, temos variáveis em ambos os lados. Temos que mover as variáveis para um lado e as constantes para o outro. Não importa qual lado contém as variáveis, mas é padrão mover as variáveis para a esquerda:
- Começamos com o problema original:
$latex 4x+2\geq 2x+10$
- Subtraímos 2 e 2x de ambos os lados para resolver para a variável:
$$4x+2-2-2x\geq 2x+10-2-2x$$
- Simplificando a desigualdade, temos:
$latex 2x\geq 8$
- Dividimos ambos os lados por 2 e simplificamos para obter a resposta:
$latex \frac{2}{2}x\geq \frac{8}{2}$
$latex x\geq 4$
- Aqui, o 4 é parte da solução, então usamos um ponto fechado para indicar isso:
EXERCÍCIO 5
Resolva a inequação $latex 5x+3>3x-3$.
Solução
Passo 1: Não temos nada para simplificar. Começamos com a desigualdade:
$latex 5x+3>3x-3$
Passo 2: Subtraímos 3 e 3x de ambos os lados para resolver para a variável:
$latex 5x+3-3-3x>3x-3-3-3x$
$latex 2x>-6$
Passo 3: Dividimos ambos os lados por 2 para resolver:
$latex \frac{2}{2}x>\frac{-6}{2}$
$latex x>-3$
EXERCÍCIO 6
Resolva a inequação $latex 3(x+2)>-9$.
Solução
Passo 1: Temos parênteses, então aplicamos a propriedade distributiva para eliminá-los:
$latex 3(x+2)>-9$
$latex 3x+6>-9$
Passo 2: Para resolver a variável, subtraímos 6 de ambos os lados:
$latex 3x+6-6>-9-6$
$latex 3x>-15$
Passo 3: Para resolver, dividimos ambos os lados por 3:
$latex \frac{3}{3}x>\frac{-15}{3}$
$latex x>-5$
EXERCÍCIO 7
Resolva a inequação $latex 2(3x-3)>4x$.
Solução
Neste caso, temos parênteses, então usamos a propriedade distributiva para remover parênteses e simplificar:
- Escrevemos o problema original:
$latex 2(3x-3)>4x$
- Aplicamos a propriedade distributiva:
$latex 2(3x)+2(-3)>4x$
$latex 6x-6>4x$
- Adicionamos 6 de ambos os lados e subtraímos 4x para resolver para a variável:
$$6x-6+6-4x>4x+6-4x$$
- Depois de simplificar, a expressão se reduz a:
$latex 2x>6$
- Ao dividir os dois lados por 2, temos:
$latex \frac{2}{2}x> \frac{6}{2}$
$latex x> 3$
EXERCÍCIO 8
Resolva a inequação $latex 2(2x+4)+5>1$.
Solução
Passo 1: Simplificamos os parênteses e combinamos termos semelhantes:
$latex 2(2x+4)+5>1$
$latex 4x+8+5>1$
$latex 4x+13>1$
Passo 2: Isolamos a variável subtraindo 13 de ambos os lados:
$latex 4x+13-13>1-13$
$latex 4x>-12$
Passo 3: Temos que dividir por 4:
$latex \frac{4}{4}x>\frac{-12}{4}$
$latex x>-3$
EXERCÍCIO 9
Resolva a inequação $latex 4(2x+4)-3 \leq 2(3x+4)+3$.
Solução
Passo 1: Simplificamos os parênteses em ambos os lados e combinamos termos semelhantes:
$latex 4(2x+4)-3\leq 2(3x+4)+3$
$latex 8x+16-3\leq 6x+8+3$
$latex 8x+13\leq 6x+11$
Passo 2: Subtraímos 13 e 6x de ambos os lados para resolver para a variável:
$$8x+13-13-6x\leq 6x+11-13-6x$$
$latex 2x\leq -2$
Passo 3: Para resolver, dividimos ambos os lados por 2:
$latex \frac{2}{2}x\leq \frac{-2}{2}$
$latex x\leq -1$
EXERCÍCIO 10
Resolva a inequação $latex 2(x+5)-10\geq 4(2x+6)-1$.
Solução
Passo 1: Simplificamos os parênteses em ambos os lados e combinamos termos semelhantes:
$latex 2(x+5)-10\geq 4(2x+6)$
$latex 2x+10-10\geq 8x+24$
$latex 2x\geq 8x+24$
Passo 2: Subtraímos ambos os lados em 8x para resolver para x:
$latex 2x-8x\geq 8x+24-8x$
$latex -6x\geq 24$
Passo 3: Agora, dividimos por -6:
$latex \frac{-6}{-6}x\geq\frac{24}{-6}$
$latex x\leq -4$
Exercícios de inequações para resolver
Resolver a inequação $latex (-3x-2)+2>-x-2(-2x+6)$
Escreva a resposta na caixa.
Veja também
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