Funções compostas são funções obtidas usando os valores de saída de uma função como os valores de entrada de outra. Ou seja, se tivermos duas funções f e g, uma função composta seria h=g(f(x)). Basicamente, uma função é aplicada ao resultado de outra função.
A seguir, aprenderemos tudo sobre funções compostas. Veremos sua definição e alguns exemplos de como resolver funções compostas.
Definição de funções compostas
Considere as duas funções $latex f(x)=2x+5$ e $latex g(x)=x-3$, onde o domínio de f é {1, 2, 3, 4} e o domínio de g é igual para a imagem de f. Podemos ilustrar isso usando o seguinte diagrama de mapeamento:
A terceira função mostrada no diagrama, que tem domínio {1, 2, 3, 4} e imagem {4, 6, 8, 10}, é chamada de função composta. Esta função é denotada por $latex g(f(x))$ ou $latex (g \circ f)(x)$.
Podemos obter uma única expressão ou “regra” para a função composta $latex g(f(x))$ em termos de x.
Para isso, observamos que a função f é a mais próxima da variável x, pois f é a primeira função que opera no conjunto {1, 2, 3, 4}. Assim, podemos escrever:
$latex g(f(x))=g(2x+5)$
$latex =(2x+5)-3$
$latex g(f(x))=2x+2$
A composição das funções é $latex g(f(x))=2x+2$ e tem domínio {1, 2, 3, 4} e imagem {4, 5, 8, 10}.
Ordem de funções em uma composição de funções
A ordem das funções é muito importante na composição das funções, pois $latex f(g(x))$ não é igual a $latex g(f(x))$.
Tomando o mesmo exemplo mostrado acima, se a função g operasse primeiro no conjunto {1, 2, 3, 4} e depois a função f operasse no intervalo de g, teríamos o seguinte diagrama de mapeamento:
Neste caso, a função composta $latex f(g(x))$ tem domínio {1, 2, 3, 4} e imagem {1, 3, 5, 7}. A função $latex f(g(x))$ pode ser escrita da seguinte forma:
$latex f(g(x))=f(x-3)$
$latex =2(x-3)+5$
$latex =2x-6+5$
$latex f(g(x))=2x-1$
A composição das funções é $latex f(g(x))=2x-1$ e tem domínio {1, 2, 3, 4} e imagem {1, 3, 5, 7}.
Exemplos de funções compostas
A seguir estão alguns exemplos comuns de funções compostas. Cada exemplo tem uma solução detalhada, mas tente resolver os problemas sozinho antes de ver a resposta.
EXEMPLO 1
Se tivermos as funções $latex f(x)=2x+5$ e $latex g(x)=x+6$, encontre o valor de $latex f(g(2))$.
Solução
Para resolver isso, temos que começar avaliando $latex g(2)$. Então temos:
$latex g(2)=(2)+6$
$latex g(2)=8$
Agora, usamos o valor obtido como entrada na função f. Ou seja, temos:
$latex f(g(2))=f(8)$
$latex =2(8)+5$
$latex f(g(2))=21$
EXEMPLO 2
Encontre o valor de $latex g(f(3))$ se tivermos $latex f(x)=x^2-5$ e $latex g(x)=2x-7$.
Solução
Neste caso, temos que começar avaliando $latex f(3)$. Então temos:
$latex f(3)=(3)^2-5$
$latex f(3)=4$
Agora, vamos usar o valor de f obtido na função g:
$latex g(f(3))=g(4)$
$latex =2(4)-4$
$latex g(f(3))=4$
EXEMPLO 3
Encontre a função composta $latex h(x)=f(g(x))$ se tivermos $latex f(x)=3x+4$ e $latex g(x)=5x-6$.
Solução
Para encontrar a composição $latex f(g(x))$, temos que usar a função $latex g(x)$ como entrada para a função $latex f(x)$. Então temos:
$latex h(x)=f(g(x))$
$latex =f(5x-6)$
$latex =3(5x-6)+4$
$latex =15x-18+4$
$latex h(x)=15x-14$
EXEMPLO 4
Se tivermos as funções $latex f(x)=2x^2-3$ e $latex g(x)=3x+4$, encontre a função composta $latex h(x)=g(f(x)) $
Solução
Podemos encontrar a composição das funções $latex g(f(x))$ usando a função $latex f(x)$ como entrada para $latex g(x)$. Então temos:
$latex h(x)=g(f(x))$
$latex =g(2x^2-3)$
$latex =3(2x^2-3)+4$
$latex =6x^2-9+4$
$latex h(x)=6x^2-5$
EXEMPLO 5
Encontre o valor de $latex f(g(5))$ se tivermos as funções $latex f(x)=x^2+x$ e $latex g(x)=4x-10$.
Solução
Para encontrar o valor de $latex f(g(5))$, temos que começar avaliando $latex g(5)$. Então temos:
$latex g(5)=4(5)-10$
$latex g(5)=10$
Agora, vamos usar o valor de g(5) na função f:
$latex f(g(5))=f(10)$
$latex =(10)^2+10$
$latex f(g(5))=110$
EXEMPLO 6
Temos as funções $latex f(x)=-x^2+5x-10$ e $latex g(x)=x+2$. Encontre a composição $latex h(x)=f(g(x))$.
Solução
Para encontrar a composição $latex f(g(x))$, usamos a função $latex g(x)$ como entrada da função $latex f(x)$. Então temos:
$latex h(x)=f(g(x))$
$latex =f(x+2)$
$latex =-(x+2)^2+5(x+2)-10$
$latex =-x^2-4x-4+5x+10-10$
$latex h(x)=-x^2+x-4$
Funções compostas – Exercícios para resolver
Resolva os exercícios a seguir aplicando tudo o que você aprendeu sobre funções compostas. Você pode usar os exemplos trabalhados acima como um guia.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
