Função Piso e Função Teto

As funções da parte inteira são duas funções importantes usadas com frequência em matemática e computação. Existem duas funções de parte inteira, uma é a função piso e a outra é a função teto.

A seguir, veremos as definições, propriedades e gráficos dessas funções junto com vários exemplos com respostas.

ALGEBRA
Função piso e função teto

Relevante para

Aprender sobre as funções piso e funções teto.

Ver exercícios

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Função piso e função teto

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Definição das funções piso e teto

Definição de função teto

Uma função teto é uma função na qual o menor inteiro sucessivo é retornado. Em outras palavras, a função tato de um número real x é o menor inteiro maior ou igual ao número x.

A notação usada para representar a função teto é $latex \lceil ~ \rceil$. Portanto, a função teto é $latex f(x)=\lceil x \rceil$.

Função de definição piso

A função piso, também conhecida como função piso, é definida como uma função que retorna o maior inteiro menor ou igual a x. A notação usada para representar a função piso é $latex \lfloor ~ \rfloor$. Portanto, a função piso é $latex f(x)=\lfloor x \rfloor$.

EXEMPLOS

  • $latex \lceil 2.5 \rceil=3$
  • $latex \lfloor 2.5 \rfloor=2$
  • $latex \lceil 4.85 \rceil=5$
  • $latex \lfloor 4.85 \rfloor=4$

Propriedades das funções piso e teto

As funções de piso e teto têm muitas propriedades úteis e interessantes. A seguir estão alguns dos mais importantes. Aqui, n é um inteiro:

  • $latex \lfloor x \rfloor=n$ somente se $latex n\leq x<n+1$
  • $latex \lceil x \rceil=n$ somente se $latex n-1<x\leq n$
  • $latex \lfloor x \rfloor=n$ somente se $latex x-1< n\leq x$
  • $latex \lceil x \rceil=n$ somente se $latex x\leq n<x+1$
  • $latex \lceil -x \rceil=-\lceil x \rceil$
  • $latex \lfloor -x \rfloor=-\lfloor x \rfloor$
  • $latex \lceil x+n \rceil=\lceil x \rceil +n$
  • $latex \lfloor x+n \rfloor=\lfloor x \rfloor +n$

Fórmulas das funções piso e teto

Fórmula da função teto

A fórmula para encontrar o valor teto para qualquer valor especificado é:

$latex f(x)=$ mínimo {$latex a\in Z; a\geq x$}

Isso significa que a função retorna o número inteiro mínimo que é maior ou igual a x. Isso é representado por:

$latex f(x)=<\lceil x \rceil=$ menor número inteiro sucessivo de x

Fórmula da função piso

A fórmula para encontrar o valor piso para qualquer valor especificado é:

$latex f(x)=$ mínimo {$latex a\in Z; a\geq x$}

Isso significa que a função retorna o número inteiro máximo que é menor ou igual a . Isso é representado por:

$latex f(x)=\lfloor x \rfloor=$ maior número inteiro sucessivo de x


Gráficos das funções piso e teto

Os gráficos da função piso e teto têm uma forma em camadas e uma descontinuidade em cada ponto de número inteiro.

A seguir está o gráfico da função piso:

gráfico de função piso

A seguir está o gráfico da função teto:

gráfico de função teto

Funções piso e teto – Exercícios com resposta

EXERCÍCIO 1

Avalia a função teto de 3.4 e de -3.4.

Solução: Temos $latex f(3.4)=\lceil 3.4 \rceil=4$ e $latex f(-3.4)=\lceil -3.4 \rceil=-3$.

A função de teto de um número real é o menor inteiro maior ou igual a x. No caso de 3.4, os maiores inteiros são 4, 5, 6 … O menor deles é 4.

No caso de -3,4, os maiores inteiros são -3, -2, -1, … O menor deles é -3.

EXERCÍCIO 2

Qual é o resultado de $latex \lfloor \sqrt{46} \rfloor$?.

Solução: Neste caso, temos que encontrar o maior inteiro que seja igual ou menor que $latex \sqrt{46}$.

Sabemos que  $latex \sqrt{36}<\sqrt{46}<\sqrt{49}$.

Então, temos $latex 6<\sqrt{46}<7$.

Portanto, $latex \lfloor \sqrt{46} \rfloor=6$.

EXERCÍCIO 3

Resolva a equação $latex \lfloor x-\frac{1}{2} \rfloor +\lfloor x-\frac{5}{2} \rfloor +\lfloor x-\frac{9}{2} \rfloor =3$.

Solução: Podemos resolver este problema mais facilmente usando a substituição $latex x-\frac{1}{2}=z$. Então, temos a equação:

$latex \lfloor z \rfloor +\lfloor z-2 \rfloor +\lfloor z-4 \rfloor =3$

Usando a identidade $latex \lfloor x+n \rfloor =\lfloor x \rfloor +n$, temos o seguinte:

$latex \lfloor z \rfloor +\lfloor z \rfloor -2+\lfloor z \rfloor -4=3$

⇒   $latex 3\lfloor z \rfloor =9$

⇒   $latex \lfloor z \rfloor =3$

A última equação significa que $latex 3\leq z<4$. Voltando à variável x, temos:

$latex 3\leq x-\frac{1}{2}<4$

⇒   $latex 3\frac{1}{2}\leq x<4\frac{1}{2}$

⇒  $latex x\in[3.5, 4.5)$


Funções piso e teto – Exercícios para resolver

Qual é o resultado de $latex \lfloor 3.4 \rfloor$?

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Qual é o resultado de $latex \lfloor -\pi \rfloor$?.

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Qual é o valor de $latex \lceil \sqrt{61} \rceil$.

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Jefferson Huera Guzman

Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.

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