Função par e função ímpar – Gráficos e Exemplos

As funções ímpares e pares são duas funções com características importantes. Uma função par exibe simetria em torno do eixo y. Por outro lado, a função ímpar tem simetria rotacional de 180° em relação à origem. É possível determinar se uma função é ímpar ou par usando métodos algébricos.

A seguir, aprenderemos tudo sobre as funções pares e ímpares. Veremos seus gráficos, algumas características importantes e conheceremos como determinar se uma função é par ou ímpar.

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Fórmulas para funções pares e ímpares

Relevante para

Aprender sobre funções pares e ímpares.

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Características e gráfico da função par

Funções par têm a principal característica de serem simétricas em relação ao eixo y. Isso significa que, se dobrarmos o gráfico no eixo y, obteremos duas partes iguais do gráfico.

Uma função par importante é a função $latex f(x)=x^2$, que tem o seguinte gráfico:

Quadrático-Função-Gráfico-

Outros exemplos de funções pares são as seguintes funções:

  • $latex f(x)=\cos(x)$
  • $latex f(x)=x^4$
  • $latex f(x)=\sin^2(x)$

Fórmula de funções pares

Para determinar se uma função é par ou não, podemos usar a seguinte fórmula:

$latex f(-x)=f(x)$

Isso significa que se substituir os valores de x na função por –x nos der a função original, então a função é par.

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Características e gráfico da função ímpar

A principal característica das funções ímpares é que elas têm simetria rotacional de 180° em relação à origem. Isso significa que se girarmos o gráfico 180° em torno do ponto (0, 0), o gráfico não mudará.

Uma função ímpar importante é a função $latex f(x)=x^3$, que tem o seguinte gráfico:

Gráfico-de-função-ímpar-x-cubo

Outros exemplos de funções ímpares são as seguintes funções:

  • $latex f(x)=\sin(x)$
  • $latex f(x)=x^5$
  • $latex f(x)=x^7$

Fórmula de funções ímpares

Podemos determinar se uma função é par ou ímpar usando a seguinte fórmula:

$latex f(-x)=-f(x)$

Isso significa que se substituir os valores de x na função por –x nos der a função original multiplicada por -1, então a função é ímpar.

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Exemplos de funções pares e ímpares

Nos exemplos a seguir, podemos aplicar o que aprendemos sobre a imagem de uma função. Cada um dos exemplos tem uma solução detalhada usando o gráfico da função.

EXEMPLO 1

Determina se a função $latex f(x)={{x}^2}+1$ é par ou ímpar.

Solução: Para uma função ser par, a condição $latex f(-x)=f(x)$ deve ser verdadeira. Então, vamos verificar isso:

$latex f(-x)= (-x)^2+1$

$latex f(-x)= x^2+1$

Vemos que obtivemos a função original. Então a função é par. O seguinte é seu gráfico e podemos verificar que ele é par, pois é simétrico em relação ao eixo y.

gráfico-de-função-quadrática-1
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EXEMPLO 2

A função $latex f(x)=3x^2-|x|$ é par ou ímpar?

Solução: Podemos determinar se a função é par ou ímpar testando $latex f(-x)=f(x)$ para funções pares e $latex f(-x)=-f(x)$ para funções ímpares.

Começando com a prova de funções pares, temos:

$latex f(-x)=3(-x)^2-|-x|$

$latex f(-x)=3x^2-|x|$

Vemos que a expressão obtida é igual à função original $latex f(x)$, então a função é par.

Como a função é par, não precisamos mais testar funções ímpares.

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EXEMPLO 3

Determine se a função $latex f(x)=\frac{3}{x}+2x$ é par ou ímpar.

Solução: Para resolver este problema, podemos aplicar o teste para funções pares e depois realizar o teste para funções ímpares.

Se a função for par, devemos ter $latex f(-x)=f(x)$. Então temos:

$latex f(-x)=\frac{3}{-x}+2(-x)$

$latex f(-x)=-\frac{3}{x}-2x$

Esta função não é par porque a expressão obtida não é igual à função original $latex f(x)$.

Observando a expressão obtida, vemos que ela é igual a $latex -f(x)$. Isso significa que a função é porque $latex f(-x)=-f(x)$.

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EXEMPLO 4

A função $latex f(x)=(x^3-5)^2$ é par, ímpar ou nenhuma?

Solução: Usando a prova de funções pares, $latex f(-x)=f(x)$, temos:

$latex f(-x)=((-x)^3-5)^2$

$latex f(-x)=(-x^3-5)^2$

A expressão que obtivemos não é igual a $latex f(x)$, então a função não é par. Então, continuamos com a prova de funções ímpares.

Para verificar se a função é ímpar, devemos ter $latex f(-x)=-f(x)$. No entanto, a função também não é ímpar, pois a expressão obtida acima não é igual a $latex -f(x)$.

Nota: $latex -f(x)$ seria igual a $latex -(x^3-5)^2$.

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Jefferson Huera Guzman

Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.

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