No estudo dos números complexos, bem como na integração de expressões trigonométricas, é muito provável que encontremos a Fórmula de Euler. Essa fórmula, que leva o nome do matemático Leonhard Euler, precisa de um exame cuidadoso para entender todo o seu potencial.
A seguir, veremos as características da fórmula de Euler e identificaremos cada uma de suas partes constituintes. Além disso, aprenderemos sobre suas várias aplicações, como o caso particular da identidade de Euler, a forma exponencial de números complexos, definições alternativas de funções e identidades trigonométricas.
Interpretação da fórmula de Euler
A fórmula de Euler nos diz o seguinte:
| $latex {{e}^{ix}}=\cos(x)+i~\sin(x)$ |
Nesta fórmula temos:
- $latex x$ é um número real
- $latex e$ é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,718…)
- $latex i$ é a unidade imaginária (raiz quadrada de $latex -1$)
A fórmula de Euler estabelece a relação entre funções trigonométricas e funções exponenciais. Esta fórmula pode ser pensada geometricamente como uma forma de relacionar duas representações do mesmo número complexo no plano complexo.
A seguir estão alguns valores-chave da fórmula de Euler que correspondem a pontos importantes no círculo unitário:
- Para $latex x=0$, temos $latex {{e}^{0}}=\cos(0)+i~\sin(0)$, que resulta em $latex 1=1$. Sabemos que um ângulo de 0 no círculo unitário é igual a 1 no eixo real.
- Para $latex x=1$, temos $latex {{e}^{i}}=\cos(1)+i~\sin(1)$. Isso sugere que $latex {{e}^i}$ é o ponto no círculo unitário com um ângulo de 1 radiano.
- Para $latex x=\frac{\pi}{2}$, temos $latex {{e}^{i\frac{\pi}{2}}}=\cos(\frac{\pi}{2 } )+i~\sin(\frac{\pi}{2})$. Este resultado é frequentemente aplicado em física.
- Para $latex x=\pi$, temos $latex {{e}^{i\pi}}=\cos(\pi)+i~\sin(\pi)$, que resulta em $latex {{e }^{i\pi}}=-1$. O resultado é a identidade de Euler.
- Para $latex x=2\pi$, temos $latex {{e}^{i(2\pi)}}=\cos(2\pi)+i~\sin(2\pi)$, que resulta em $latex {{e}^{i(2\pi)}}=1$. Semelhante ao resultado de usar 0.
Identidade de Euler
A identidade de Euler é frequentemente considerada a equação mais bonita da matemática. A identidade de Euler é escrita da seguinte forma:
| $latex {{e}^{i\pi}}+1=0$ |
Esta equação contém as cinco constantes mais importantes em matemática:
- A identidade aditiva 0
- A unidade 1
- A constante $latex \pi$ (relação entre uma circunferência e seu raio)
- A base do logaritmo natural $latex e$
- A unidade imaginária $latex i$
Aqui, temos três tipos diferentes de números: números inteiros, números irracionais e números imaginários. Também temos três das operações matemáticas básicas: adição, multiplicação e exponenciação.
A identidade de Euler é obtida começando com a fórmula de Euler:
$latex {{e}^{ix}}=\cos(x)+i~\sin(x)$
e usando $latex x=\pi$ e movendo o $latex -1$ resultante para o lado esquerdo.
Usos da fórmula de Euler
A fórmula de Euler pode ser usada para facilitar o cálculo de operações com números complexos, identidades trigonométricas e até integração de funções. Com a fórmula de Euler podemos escrever números complexos em sua forma exponencial, escrever definições alternativas de funções importantes e obter identidades trigonométricas.
Números complexos na forma exponencial
Sabemos que um número complexo pode ser escrito em coordenadas cartesianas como $latex a+bi$, onde a é a parte real e b a parte imaginária.
Também sabemos que o mesmo número complexo pode ser expresso em coordenadas polares como $latex r(\cos(\theta+i~\sin(\theta))$, onde r é a magnitude do número e $latex \theta$ é o seu ângulo em relação ao eixo x positivo.
Graças à fórmula de Euler, todos os números complexos podem ser escritos como exponenciais da seguinte forma:
$latex z=r(\cos(\theta+i~\sin(\theta))=r{{e}^{i\theta}}$
A forma exponencial de números complexos torna a multiplicação de números complexos muito mais fácil. Por exemplo, dados dois números complexos $latex z_{1}=r_{1} e^{i\theta_{1}}$ e $latex z_{2}=r_{2}e^{ i\theta_{2}}$, podemos multiplicá-los da seguinte forma:
$latex z_{1}z_{2}=r_{1}{{e}^{i\theta _{1}}}\times r_{2}{{e}^{i\theta _{2}}}$
$latex =r_{1}r_{2}{{e}^{i(\theta _{1}+\theta _{2})}}$
Da mesma forma, podemos dividir dois números complexos dividindo suas magnitudes e subtraindo seus ângulos.
Definições alternativas de funções importantes
A fórmula de Euler também pode ser usada para obter definições alternativas para diferentes funções importantes, como funções trigonométricas e funções hiperbólicas.
Por exemplo, também é possível usar a fórmula de Euler para derivar uma equação semelhante para o ângulo oposto $latex -x$:
$latex {{e}^{-ix}}=\cos(x)-i~\sin(x)$
Essa equação, juntamente com a fórmula original de Euler, constitui um sistema de equações do qual podemos isolar tanto a função seno quanto a função cosseno.
Por exemplo, ao subtrair a equação $latex {{e}^{-ix}}$ da equação $latex {{e}^{ix}}$, os cossenos se cancelam e após dividir por $latex 2i$, obtemos uma expressão para a função seno:
$latex \sin(x)=\frac{{{e}^{ix}}-{{e}^{-ix}}}{2i}$
Da mesma forma, somando as duas equações, os senos se cancelam e, depois de dividir por 2, obtemos uma expressão para a função cosseno:
$latex \cos(x)=\frac{{{e}^{ix}}+{{e}^{-ix}}}{2}$
A função tangente pode ser obtida dividindo o seno pelo cosseno. Usando métodos semelhantes, expressões para as funções hiperbólicas e outras funções importantes também podem ser obtidas.
Veja também
Interessado em aprender mais sobre números complexos? Veja estas páginas:
Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
