Expoente Negativo em Fração – Regra e Exercícios

Para resolver expoentes negativos com frações, temos que usar a regra dos expoentes negativos e a regra dos expoentes fracionários. Veremos o processo que pode ser usado para simplificar expressões que têm expoentes negativos com frações junto com vários exemplos para melhorar a compreensão.

ALGEBRA
Expoentes negativos com frações

Relevante para

Aprender a simplificar expressões que têm expoentes negativos com frações.

Ver método

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Expoentes negativos com frações

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Aprender a simplificar expressões que têm expoentes negativos com frações.

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Como são calculadas as potências expoentes negativas?

Para calcular potências de expoentes negativos, temos que lembrar que um expoente negativo simplesmente significa que a base está no lado oposto da fração, então precisamos inverter a fração para que a base fique do outro lado.

A regra dos expoentes negativos nos diz que:

Regra de expoentes negativos

EXEMPLO 1

Simplifique a expressão $latex {{3}^{-2}}$.

Solução: Sabemos que o expoente negativo significa que a base pertence ao outro lado da fração. Mas vemos que não há linha de fração. No entanto, sabemos que isso pode ser escrito como uma fração com denominador 1.

Então, começamos convertendo a expressão em uma fração da maneira que todas as expressões podem ser convertidas em frações: colocando-a no 1. Portanto, temos o seguinte:

$latex {{3}^{{-2}}}=\frac{{{{3}^{{-2}}}}}{1}=\frac{1}{{{{3}^{2}}}}=\frac{1}{9}$

EXEMPLO 2

Escreva $latex {{x}^{-3}}$ usando apenas expoentes positivos.

Solução: Novamente, sabemos que devemos mudar a base para o outro lado da fração e mudar o expoente de negativo para positivo. Formamos uma fração colocando a expressão sobre 1.

Então, começamos convertendo a expressão em uma fração onde o denominador é 1 e depois simplificamos. Portanto, temos o seguinte:

$latex {{x}^{{-3}}}=\frac{{{{x}^{{-3}}}}}{1}=\frac{1}{{{{x}^{3}}}}$


Como resolver uma fração com expoentes negativos?

As frações com expoentes negativos no numerador podem ser simplificadas alterando os termos do expoente negativo do numerador para o denominador e tornando-os positivos. As frações com expoentes negativos no denominador podem ser simplificadas alterando os termos com expoentes negativos do denominador para o numerador e tornando-os positivos. Então temos $latex {{x}^{- n}}=\frac{1}{{{x}^n}}$ e $latex \frac{1}{{{x}^{-n}}}={{x}^n}$. Isso significa que um expoente negativo é igual ao recíproco de um expoente positivo.

EXEMPLO 1

  • Simplifique a fração $latex \frac{{{{4}^{{-2}}}}}{{{{8}^{{-2}}}}}$.

Solução: Podemos aplicar a regra do expoente negativo separadamente ao numerador e ao denominador e então simplificar a expressão resultante. Então nós temos:

$latex \frac{{{{4}^{{-2}}}}}{{{{8}^{{-2}}}}}=\frac{1}{{{{4}^{2}}}}\times \frac{{{{8}^{2}}}}{1}$

$latex =\frac{{{{8}^{{2}}}}}{{{{4}^{{2}}}}}$

$latex =\frac{64}{16}$

$latex =4$

Então, descobrimos que $latex \frac{{{{4}^{{-2}}}}}{{{{8}^{{-2}}}}}$é equivalente a 4.

EXEMPLO 2

  • Simplifique a fração $latex \frac{{3{{x}^{{-2}}}y}}{{xy}}$.

Solução: Neste caso, apenas a expressão $latex {{{x}^{{-2}}}}$ possui um expoente negativo. Então, mudamos essa expressão do numerador para o denominador e a tornamos positiva:

$latex \frac{{3{{x}^{{-2}}}y}}{{xy}}=\frac{{3y}}{{{{x}^{2}}\left( {xy} \right)}}$

$latex =\frac{{3y}}{{{{x}^{3}}y}}$

Agora cancelamos os termos semelhantes no numerador e no denominador:

$latex \frac{{3y}}{{{{x}^{3}}y}}=\frac{{3}}{{{{x}^{3}}}}$


Como resolver expoentes negativos com frações?

Para resolver expoentes negativos com frações, precisamos lembrar da regra para expoentes fracionários, que nos permite relacionar potências e raízes:

regra de expoentes negativos com frações

Portanto, quando temos expoentes negativos com frações, começamos aplicando a regra dos expoentes negativos e, em seguida, aplicamos a regra dos expoentes fracionários.

EXEMPLO 1

  • Simplifique a fração $latex \frac{{{{4}^{{-\frac{1}{2}}}}}}{{{{6}^{{-2}}}}}$.

Solução: No numerador, temos um expoente fracionário negativo e no denominador, um expoente negativo. Então, começamos aplicando a regra dos expoentes negativos:

$latex \frac{{{{4}^{{-\frac{1}{2}}}}}}{{{{6}^{{-2}}}}}=\frac{{{{6}^{2}}}}{{{{4}^{{\frac{1}{2}}}}}}$

Agora, temos expoentes positivos no numerador e no denominador, mas temos um expoente fracionário no denominador, então aplicamos a regra dos expoentes fracionários lá:

$latex =\frac{{{{6}^{2}}}}{{\sqrt{4}}}$

Agora, resolvemos os expoentes e simplificamos:

$latex =\frac{{36}}{2}$

$latex =18$

EXEMPLO 2

  • Simplifique a expressão $$\frac{{{{x}^{{-\frac{3}{2}}}}}}{{{{{16}}^{{-\frac{1}{4}}}}{{y}^{{-\frac{1}{2}}}}}}$$

Solução: Todos os expoentes são negativos, então começamos aplicando a regra dos expoentes negativos:

$$\frac{{{{x}^{{-\frac{3}{2}}}}}}{{{{{16}}^{{-\frac{1}{4}}}}{{y}^{{-\frac{1}{2}}}}}}=\frac{{{{{16}}^{{\frac{1}{4}}}}{{y}^{{\frac{1}{2}}}}}}{{{{x}^{{\frac{3}{2}}}}}}$$

Agora, temos expoentes positivos no numerador e no denominador. Podemos aplicar a regra do expoente fracionário:

$latex =\frac{{\sqrt[4]{{16}}\sqrt{y}}}{{\sqrt{{{{x}^{3}}}}}}$

Agora, simplificamos:

$latex =\frac{{2~\sqrt{y}}}{{\sqrt{{{{x}^{3}}}}}}$


Frações com expoentes negativos exercícios resolvidos

EXERCÍCIO 1

  • Simplifique a expressão $latex \frac{{{{x}^{2}}}}{{{{x}^{{-3}}}}}$.

Solução: Esta expressão possui apenas o denominador com expoente negativo. Então, mudamos o denominador para o numerador com um expoente positivo:

$latex \frac{{{{x}^{2}}}}{{{{x}^{{-3}}}}}=\frac{{{{x}^{2}}{{x}^{3}}}}{1}$

Agora só temos expoentes positivos e podemos aplicar a regra do produto dos expoentes para simplificar:

$latex ={{x}^{{2+3}}}={{x}^{5}}$

EXERCÍCIO 2

  • Simplifique a expressão $$\frac{{{{{25}}^{{-\frac{1}{2}}}}}}{{{{{16}}^{{-\frac{1}{4}}}}}}$$

Solução: Neste caso, temos expoentes negativos fracionários. Então, começamos aplicando a regra dos expoentes negativos para mudar do numerador para o denominador e vice-versa e mudar de negativo para positivo:

$$\frac{{{{{25}}^{{-\frac{1}{2}}}}}}{{{{{16}}^{{-\frac{1}{4}}}}}}=\frac{{{{{16}}^{{\frac{1}{4}}}}}}{{{{{25}}^{{\frac{1}{2}}}}}}$$

Agora, temos expoentes positivos no numerador e no denominador. Portanto, podemos aplicar a regra dos expoentes fracionários para formar radicais:

$latex =\frac{{\sqrt[4]{{16}}}}{{\sqrt{{25}}}}$

Finalmente, calculamos os radicais:

$latex =\frac{2}{5}$

EXERCÍCIO 3

  • Escreva a expressão $latex {{\left( {\frac{{{{x}^{{-3}}}}}{{{{y}^{{-2}}}}}} \right)}^{{-2}}}$ apenas com expoentes positivos.

Solução: Começamos observando que temos um expoente negativo fora dos parênteses. Isso significa que o numerador deve ser movido para baixo e o denominador deve ser movido para cima. Ou seja, devemos inverter a fração que está dentro dos parênteses:

$latex {{\left( {\frac{{{{x}^{{-3}}}}}{{{{y}^{{-2}}}}}} \right)}^{{-2}}}={{\left( {\frac{{{{y}^{{-2}}}}}{{{{x}^{{-3}}}}}} \right)}^{2}}$

Agora que temos um expoente positivo, usamos a regra da potência de uma potência para aplicar o expoente separadamente ao numerador e denominador:

$latex =\frac{{{{{\left( {{{y}^{{-2}}}} \right)}}^{2}}}}{{{{{\left( {{{x}^{{-3}}}} \right)}}^{2}}}}$

$latex =\frac{{{{y}^{{-4}}}}}{{{{x}^{{-6}}}}}$

Finalmente, usamos a regra dos expoentes negativos novamente e invertemos a fração:

$latex =\frac{{{{x}^{6}}}}{{{{y}^{4}}}}$

Experimente você mesmo – Resolva os exercícios

Simplifique a expressão $latex \frac{{{x}^{-3}}}{{{x}^2}}$.

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Simplifique a expressão $$\frac{{{{{16}}^{{-\frac{1}{2}}}}}}{{{{{27}}^{{-\frac{1}{3}}}}}}$$

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Simplifique a expressão $$4\left( \frac{{{64}^{-2}}}{{{4}^{-2}}}\right)$$

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Jefferson Huera Guzman

Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.

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