A fórmula de Bhaskara nos permite resolver qualquer tipo de equações quadráticas. Esta fórmula é extremamente útil, pois algumas equações não podem ser resolvidas por fatoração. A seguir, veremos um resumo da fórmula de Bhaskara geral. Além disso, exploraremos vários exercícios com a fórmula geral para dominar completamente a resolução de equações do segundo grau com esta fórmula.
Resumo de fórmula de Bhaskara
Uma das maneiras mais simples de resolver uma equação quadrática com a forma geral $latex a{{x}^2}+bx+c=0$ é fatorar e resolver cada fator. No entanto, muitas vezes a equação quadrática não pode ser fatorada facilmente.
Nestes casos, podemos usar a fórmula de Bhaskara, pois com esta fórmula podemos encontrar as soluções de qualquer equação quadrática.
A fórmula de Bhaskara usa os coeficientes numéricos da equação a, b e c. Esta fórmula é derivada do processo de completar o quadrado. Para uma equação quadrática $latex a{{x}^2}+bx+c=0$, os valores de x que são as soluções da equação são dadas por:
| $latex x=\frac{{-b\pm \sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}}}{{2a}}$ |
Para que a fórmula de Bhaskara funcione, devemos sempre colocar a equação na forma “(quadrático)=0”. Além disso, devemos ter cuidado com cada um dos números que colocamos na fórmula. Por exemplo, o “2a” está abaixo de toda a expressão, não apenas da raiz quadrada.
Além disso, devemos sempre colocar o sinal “mais/menos”, pois isso nos permitirá obter ambas as soluções para a equação quadrática.
Exercícios sobre fórmula de Bhaskara resolvidos
A fórmula de Bhaskara detalhada acima é usada para resolver esses exercícios de equação quadrática. É recomendável que você tente resolver os exercícios sozinho antes de procurar a solução.
EXERCÍCIO 1
Use a fórmula de Bhaskara para encontrar as soluções para a equação $latex {{x}^2}-4x+3=0$.
Solução
Nesta equação, temos $latex a=1$, $latex b=-4$ e $latex c=3$. Assim, substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos:
$latex x=\frac{{-(-4)\pm \sqrt{{{{{(-4)}}^{2}}-4( 1 )(3)}}}}{{2(1)}}$
$latex =\frac{{4\pm \sqrt{{16-12}}}}{2}$
$latex =\frac{{4\pm \sqrt{{4}}}}{2}$
$latex =\frac{{4\pm 2}}{2}$
$latex =\frac{{4+2}}{2},~~\frac{{4-2}}{2}$
$latex =\frac{{6}}{2},~\frac{2}{2}=3,~1$
Então, as soluções são $latex x=3$ e $latex x=1$.
EXERCÍCIO 2
Encontre as soluções da equação quadrática $latex {{x}^2}+3x-10=0$.
Solução
Aqui, temos os coeficientes $latex a=1$, $latex b=3$ e $latex c=-10$. Usando a fórmula quadrática com esses valores, temos:
$latex x=\frac{{-(3)\pm \sqrt{{{{{(3)}}^{2}}-4( 1 )(-10)}}}}{{2(1)}}$
$latex =\frac{{-3\pm \sqrt{{9+40}}}}{2}$
$latex =\frac{{-3\pm \sqrt{{49}}}}{2}$
$latex =\frac{{-3\pm 7}}{2}$
$latex =\frac{{-3+7}}{2},~~\frac{{-3-7}}{2}$
$latex =\frac{{4}}{2},~\frac{-10}{2}=2,~-5$
Então, as soluções são $latex x=2$ e $latex x=-5$.
EXERCÍCIO 3
Resolva a equação quadrática $latex 4{{x}^2}+8x-12=0$.
Solução
Nesta equação, podemos reconhecer os valores $latex a=4$, $latex b=8$ e $latex c=-12$. Então, usando a fórmula de Bhaskara com esses valores, temos:
$latex x=\frac{{-(8)\pm \sqrt{{{{{(8)}}^{2}}-4( 4 )(-12)}}}}{{2(4)}}$
$latex =\frac{{-8\pm \sqrt{{64+192}}}}{8}$
$latex =\frac{{-8\pm \sqrt{{256}}}}{8}$
$latex =\frac{{-8\pm 16}}{8}$
$latex =\frac{{-8+16}}{8},~~\frac{{-8-16}}{8}$
$latex =\frac{{8}}{8},~\frac{-24}{8}=1,~-3$
Então, as soluções são $latex x=1$ e $latex x=-3$.
EXERCÍCIO 4
Encontre as soluções para a equação $latex 3{{x}^2}-7x-6=0$.
Solução
Neste caso, temos os valores $latex a=3$, $latex b=-7$ e $latex c=-6$. Então, substituindo esses valores na fórmula, temos:
$latex x=\frac{{-(-7)\pm \sqrt{{{{{(-7)}}^{2}}-4( 3 )(-6)}}}}{{2(3)}}$
$latex =\frac{{7\pm \sqrt{{49+72}}}}{6}$
$latex =\frac{{7\pm \sqrt{{121}}}}{6}$
$latex =\frac{{7\pm 11}}{6}$
$latex =\frac{{7+11}}{6},~~\frac{{7-11}}{6}$
$latex =\frac{{18}}{6},~\frac{-4}{6}=3,~-\frac{2}{3}$
Então, as soluções são $latex x=3$ e $latex x=-\frac{2}{3}$.
EXERCÍCIO 5
Encontre as soluções para a equação quadrática $latex 4{{x}^2}+12x+9=0$.
Solução
Usando os valores $latex a=4$, $latex b=12$ e $latex c=9$ com a fórmula Bhaskara, temos:
$latex x=\frac{{-( 12 )\pm \sqrt{{{{{(12)}}^{2}}-4( 4)(9)}}}}{{2(4)}}$
$latex =\frac{{-12\pm \sqrt{{144-144}}}}{8}$
$latex =\frac{{-12\pm \sqrt{{0}}}}{8}$
$latex =\frac{{-12\pm 0}}{8}$
$latex =\frac{{-12}}{8}=-\frac{{3}}{2}$
Vemos que obtivemos um zero na raiz quadrada. Isso significa que não obtemos nenhuma alteração ao adicionar ou subtrair zero. Portanto, a única solução é $latex x=-\frac{{3}}{2}$.
EXERCÍCIO 6
Encontre as soluções para a equação quadrática $latex 2{{x}^2}+4x+8=0$.
Solução
Podemos identificar os valores $latex a=2$, $latex b=4$ e $latex c=8$. Então, usando a fórmula de Bhaskara com esses valores, temos:
$latex x=\frac{{-( 4 )\pm \sqrt{{{{{( 4)}}^{2}}-4( 2)( 8 )}}}}{{2( 2 )}}$
$latex =\frac{{-4\pm \sqrt{{16-64}}}}{4}$
$latex =\frac{{-4\pm \sqrt{{-48}}}}{4}$
Nesse caso, obtivemos um número negativo dentro da raiz quadrada. Sabemos que não podemos resolver isso se nos limitarmos a números reais. Portanto, podemos simplesmente dizer que essa equação não tem soluções reais.
No entanto, se tivermos conhecimento de números complexos, podemos resolver a equação da seguinte forma:
$latex =\frac{{-4\pm \sqrt{{-48}}}}{4}=\frac{{-4\pm 4\sqrt{{-3}}}}{4}$
$latex =\frac{{-4\pm 4\sqrt{{3}}i}}{4}$
$latex =-1\pm \sqrt{3}i$
Portanto, a solução deste tipo de equações depende se estamos restritos a números reais ou se também podemos considerar números complexos:
Apenas números reais: não há solução.
Números complexos: a solução é $latex =-1\pm \sqrt{3}i$.
Exercícios sobre fórmula de Bhaskara para resolver
Use a fórmula de Bhaskara para resolver os seguintes exercícios. Escolha a resposta e verifique se você selecionou a correta. Confira os exercícios resolvidos acima caso precise de ajuda.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
