Em alguns casos especiais, é possível fatorar polinômios usando o trinômio quadrado perfeito. Essa técnica nos permite fatorar esses tipos de polinômios facilmente e usar a fatoração para encontrar as raízes ou soluções para um problema.
A seguir, faremos uma breve revisão do trinômio quadrado perfeito. Veremos como identificar esses trinômios e como aplicar essa técnica. Além disso, veremos vários exercícios de trinômio quadrado perfeito resolvidos para dominar totalmente o uso desta técnica de fatoração.
Resumo de trinômio quadrado perfeito
O trinômio quadrado perfeito é um tipo especial de fatoração que pode ser usado para resolver equações algébricas.
Lembre-se de que um trinômio é uma expressão algébrica composta de três termos que são conectados por adição ou subtração.
Da mesma forma, um binômio é uma expressão composta de dois termos. Assim, um trionômio quadrado perfeito pode ser definido como uma expressão que é obtida ao se elevar ao quadrado um binômio.
Para reconhecer um trinômio quadrado perfeito, levamos em consideração o seguinte:
- O primeiro e o último termos devem ser quadrados perfeitos
- O termo do meio deve ser duas vezes o produto das raízes quadradas do primeiro e do último termos.
Depois de identificar um trinômio quadrado perfeito, seguimos os seguintes passos para fatorar:
Passo 1: Identifique os números quadrados no primeiro e no último termos do trinômio.
Passo 2: Examine se o termo do meio é positivo ou negativo. Se o termo do meio for positivo, os fatores terão um sinal de mais e se o termo do meio for negativo, os fatores terão um sinal de menos.
Passo 3: Escrevemos os termos aplicando as seguintes identidades:
$latex {{a}^2}+2ab+{{b}^2}={{(a+b)}^2}$
$latex {{a}^2}-2ab+{{b}^2}={{(a-b)}^2}$
Exercícios de equações lineares resolvidos
Os seguintes exercícios de trinômio quadrado perfeito usam a técnica e os passos detalhados acima para chegar à solução. Tente resolver os exercícios sozinho antes de olhar para a solução.
EXERCÍCIO 1
Fatore o trinômio $latex {{x}^2}+6x+9$.
Solução
Passo 1: Podemos escrever o trinômio da seguinte maneira:
$latex {{x}^2}+6x+9={{(x)}^2}+6x+{{3}^2}$
Passo 2: Neste caso, o termo do meio é positivo, então os fatores terão um sinal de mais.
Passo 3: Aplicando a fórmula $latex {{a}^2}+2ab+{{b}^2}={{(a+b)}^2}$, temos:
$latex {{(x)}^2}+6x+{{3}^2}={{(x+3)}^2}$
EXERCÍCIO 2
Fatore a expressão $latex {{x}^2}+10x+25$.
Solução
Passo 1: Reescrevemos o trinômio da seguinte maneira:
$latex {{x}^2}+10x+25={{(x)}^2}+10x+{{5}^2}$
Passo 2: Aqui, o meio termo é positivo. Isso significa que os fatores terão um sinal de mais.
Passo 3: Usando a fórmula $latex {{a}^2}+2ab+{{b}^2}={{(a+b)}^2}$, temos:
$latex {{(x)}^2}+10x+{{5}^2}={{(x+5)}^2}$
EXERCÍCIO 3
Fatore o trinômio $latex {{x}^2} -8x+16$.
Solução
Passo 1: Para melhor visualizar, escrevemos o trinômio da seguinte forma:
$latex {{x}^2}-8x+16={{(x)}^2}-8x+{{4}^2}$
Passo 2: O termo do meio é negativo, então os fatores terão um sinal de menos.
Passo 3: Usando a fórmula $latex {{a}^2}-2ab+{{b}^2}={{(a-b)}^2}$, temos:
$latex {{(x)}^2}-8x+{{4}^2}={{(x-4)}^2}$
EXERCÍCIO 4
Fatore a expressão $latex 4{{x}^2}+4x+1$.
Solução
Passo 1: Escrevemos como segue:
$latex 4{{x}^2}+4x+1={{(2x)}^2}+4x+{{1}^2}$
Passo 2: Aqui, o fator terá um sinal de mais, pois o termo do meio é positivo.
Passo 3: Aplicando a fórmula $latex {{a}^2}+2ab+{{b}^2}={{(a+b)}^2}$, temos:
$latex {{(2x)}^2}+4x+{{1}^2}={{(2x+1)}^2}$
EXERCÍCIO 5
Fatore a expressão $latex 25{{y}^2}-10y+1$.
Solução
Passo 1: Reescrevemos a expressão para melhor visualizar:
$latex 25{{y}^2}-10y+1={{(5y)}^2}-10y+{{1}^2}$
Passo 2: Temos o meio termo com um sinal negativo, então os fatores terão um sinal de menos.
Passo 3: Usando a fórmula $latex {{a}^2}-2ab+{{b}^2}={{(a-b)}^2}$, temos:
$latex {{(5y)}^2}-10y+{{1}^2}={{(5y-1)}^2}$
EXERCÍCIO 6
Fatore a expressão $latex 9{{x}^2}+\frac{3}{2}x+\frac{1}{16}$.
Solução
Passo 1: Podemos escrever o trinômio da seguinte maneira:
$$9{{x}^2}+\frac{3}{2}x+\frac{1}{16}={{(3x)}^2}+\frac{3}{2}x+{{(\frac{1}{4})}^2}$$
Passo 2: Temos os fatores com sinal positivo já que o meio termo é positivo.
Passo 3: Aplicando a fórmula $latex {{a}^2}+2ab+{{b}^2}={{(a+b)}^2}$, temos:
$latex {{(3x)}^2}+\frac{3}{2}x+{{(\frac{1}{4})}^2}={{(x+\frac{1}{4})}^2}$
EXERCÍCIO 7
Fatore a expressão $latex {{x}^4} -10{{x}^2}{{y}^2}+25{{y}^4}$.
Solução
Passo 1: Podemos escrever o trinômio da seguinte maneira:
$${{x}^4}-10{{x}^2}{{y}^2}+25{{y}^4}={{({{x}^2})}^2}+6x+{{(5{{y}^2})}^2}$$
Passo 2: Aqui, temos um sinal positivo no fator.
Passo 3: Aplicando a fórmula $latex {{a}^2}+2ab+{{b}^2}={{(a+b)}^2}$, temos:
$latex {{({{x}^2})}^2}+6x+{{(5{{y}^2})}^2}={{({{x}^2}+5{{y}^2})}^2}$
Exercícios de trinômio quadrado perfeito para resolver
Teste seu conhecimento do trinômio quadrado perfeito fatorando os seguintes trinômios. Selecione uma resposta e verifique se você acertou.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
