Trinômios são polinômios de três termos. Geralmente, quando mencionamos trinômios, queremos dizer trinômios quadráticos. Os trinômios quadráticos podem ser fatorados encontrando números que, quando multiplicados ou adicionados, correspondem ao trinômio original.
A seguir, revisaremos o processo usado para fatorar trinômios. Veremos também vários exercícios de fatoração trinomial resolvidos para entender o uso do processo mencionado.
Resumo de fatoração de trinômios
A forma geral de um trinômio quadrático é escrita como $latex a{{x}^2}+bx+c$, onde a, b e c são constantes. Nos exercícios a seguir, consideraremos o caso em que o valor de a é 1, ou seja, quando temos $latex a=1$ ou $latex a=-1$. Portanto, a forma geral deste caso é reduzida a:
$latex {{x}^2}+bx+c$
A estratégia básica usada para fatorar esses tipos de trinômios é encontrar dois números, que quando multiplicados, resultam no número constante c. Além disso, quando somamos esses dois números, devemos obter a constante b, o coeficiente do termo x.
Exercícios de fatoração de trinômios resolvidos
A estratégia mencionada acima é usada para resolver os seguintes exercícios de fatoração trinomial. É recomendável que você tente resolver os exercícios sozinho antes de procurar a solução.
EXERCÍCIO 1
Fatore o trinômio $latex {{x}^2}+5x+6$ como um produto de dois binômios.
Solução
Vemos que o coeficiente do termo quadrático é 1, então isso é fácil de fatorar. Precisamos identificar as outras constantes relevantes. Observe que $latex b = 5$ e $latex c = 6$.
Então, temos que encontrar dois números que quando multiplicados são iguais ao valor do termo constante $latex c = 6$ e que quando somados são iguais ao valor de $latex b = 5$. Como o produto dos dois números deve ser positivo, os números devem ser positivos ou negativos.
Podemos usar várias tentativas e erros para encontrar a combinação correta. A seguir estão algumas combinações possíveis:
| Números | CombinaçãoCorreta |
| 1 e 6 | X |
| -1 e -6 | X |
| 2 e 3 | ✓ |
| -2 e -3 | X |
Como a combinação correta de números é 2 e 3, nossa resposta final é:
$latex (x+2)(x+3)$
Podemos verificar isso multiplicando esta expressão:
$latex (x+2)(x+3)$
$latex ={{x}^2}+2x+3x+6$
$latex ={{x}^2}+5x+6$
Obtivemos o trinômio original, portanto a fatoração é correta.
EXERCÍCIO 2
Fatore o trinômio $latex {{x}^2}+6x+8$.
Solução
Neste trinômio temos $latex b = 6$ e $latex c = 8$. Portanto, temos que encontrar dois números que tenham um produto igual ao termo constante $latex c = 8$ e uma soma igual ao valor de $latex b = 6$.
O produto de ambos os números deve ser positivo, portanto, os números devem ser positivos ou negativos.
Vejamos as seguintes combinações possíveis:
| Números | Combinação Correta |
| 1 e 8 | X |
| -1 e -8 | X |
| 2 e 4 | ✓ |
| -2 e -4 | X |
Portanto, a combinação correta de números é 2 e 4, então a fatoração é:
$latex (x+2)(x+4)$
Verificando, temos:
$latex (x+2)(x+4)$
$latex ={{x}^2}+2x+4x+8$
$latex ={{x}^2}+6x+8$
A fatoração obtida é correta.
EXERCÍCIO 3
Obtenha a fatoração do trinômio $latex {{x}^2}-2x-8$.
Solução
Temos os coeficientes $latex b = -2$ e $latex c= -8$. Portanto, temos que encontrar dois números que tenham um produto igual ao valor do termo constante $latex c=-8$ e que tenham uma soma igual ao valor de $latex b=-2$.
Aqui, o produto dos dois números deve ser negativo, portanto, um número deve ser positivo e o outro negativo.
Vemos as seguintes combinações possíveis:
| Números | Combinação Correta |
| -1 e 8 | X |
| 1 e -8 | X |
| 2 e -4 | ✓ |
| -2 e 4 | X |
A combinação correta de números é 2 e -4, então a fatoração é:
$latex (x+2)(x-4)$
Verificando isso, temos:
$latex (x+2)(x-4)$
$latex ={{x}^2}+2x-4x-8$
$latex ={{x}^2}-2x-8$
Obtivemos o trinômio original, portanto a fatoração é correta.
EXERCÍCIO 4
Fatore o trinômio $latex {{x}^2}+4x-12$.
Solução
Identificamos os coeficientes $latex b=4$ e $latex c=-12$.
Então, temos que encontrar dois números que quando multiplicados são iguais a $latex c=-12$ e que quando somados são iguais a $latex b=4$.
O produto desses números é negativo, então um número deve ser positivo e o outro negativo.
Podemos usar a seguinte tabela para tentar diferentes combinações possíveis:
| Números | Combinação Correta |
| 4 e -3 | X |
| -4 e 3 | X |
| 6 e -2 | ✓ |
| -6 e 2 | X |
A combinação correta de números é 6 e -2, então temos:
$latex (x+6)(x-2)$
Verificando isso, temos:
$latex (x+6)(x-2)$
$latex ={{x}^2}+6x-2x-12$
$latex ={{x}^2}+4x-12$
A fatoração é correta, pois obtivemos o trinômio original.
EXERCÍCIO 5
Fatore o trinômio $latex {{x}^2}-8x+15$.
Solução
Temos os coeficientes $latex b = -8$ e $latex c = 15$. Portanto, temos que encontrar dois números cujo produto seja igual a $latex c = 15$ e cuja soma seja igual a $latex b = -8$.
O produto dos dois números deve ser positivo, portanto, os números podem ser positivos ou negativos. No entanto, vemos que a soma é negativa, então os números devem ser negativos.
Testando algumas combinações, temos:
| Números | Combinação Correta |
| -15 e -1 | X |
| -5 e -3 | ✓ |
Como a combinação correta de números é -5 e -3, temos:
$latex (x-5)(x-3)$
Verificando, temos:
$latex (x-5)(x-3)$
$latex ={{x}^2}-5x-3x+15$
$latex ={{x}^2}-8x+15$
Obtivemos o trinômio original, portanto a fatoração é correta.
EXERCÍCIO 6
Obtenha a fatoração do trinômio $latex {{x}^2}+17x+16$.
Solução
Identificamos as constantes relevantes $latex b=17$ e $latex c=16$.
Então, devemos encontrar dois números com um produto igual ao valor do termo constante $latex c = 16$ e com uma soma igual ao valor de $latex b = 17$. O produto deve ser positivo, então os números devem ser positivos ou negativos.
No entanto, vemos que o valor de b (o resultado da soma) é maior do que o produto, então só podemos obter isso se ambos os números forem positivos.
A seguir estão algumas combinações possíveis:
| Números | Combinação Correta |
| 4 e 4 | X |
| 1 e 16 | ✓ |
Uma vez que a combinação correta de números é 1 e 16, nossa resposta final é:
$latex (x+1)(x+16)$
Podemos verificar isso multiplicando esta expressão:
$latex (x+1)(x+16)$
$latex ={{x}^2}+1x+16x+16$
$latex ={{x}^2}+17x+16$
Obtivemos o trinômio original, então a fatoração é correta.
Exercícios de fatoração de trinômios para resolver
Pratique a estratégia acima fatorando os seguintes trinômios quadráticos. Se precisar de ajuda, você pode examinar os exercícios resolvidos acima com atenção.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
