Exercicios de Sistemas de Equações do 1 Grau

Os sistemas de equações de 1 grau são sistemas com equações lineares. Existem vários métodos diferentes para resolver esses sistemas de equações. Neste caso, vamos nos concentrar em dois métodos, o método de eliminação e o método de substituição.

Começaremos explorando um breve resumo de como resolver sistemas de equações de 1 grau e, em seguida, examinando vários exercícios resolvidos.

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Resumo de sistemas de equações de 1 grau

Podemos resolver sistemas de equações de 1 grau com três métodos principais, com o método de eliminação, o método de substituição e o método gráfico. Aqui, vamos nos concentrar no método de eliminação e no método de substituição.

Resolução de sistemas de equações de 1 grau com o método de substituição

Podemos seguir os seguintes passos para resolver o sistema por substituição:

Passo 1: Simplifique as equações: Isso inclui remover parênteses, combinar termos semelhantes e remover frações.

Passo 2: Resolva qualquer equação para uma variável. Não importa qual equação ou variável escolhemos.

Passo 3: Substitua a expressão obtida no passo 2 na outra equação. Isso resultará em uma única equação com uma variável.

Passo 4: Resolva a equação obtida no passo 3.

Passo 5: substitua o valor do passo 4 em qualquer uma das outras equações e resolva a outra incógnita.

Resolução de sistemas de equações de 1 grau pelo método de eliminação

Usamos os seguintes passos para resolver o sistema de equações por eliminação:

Passo 1: Simplifique as equações e coloque-as na forma Ax+By=C.

Passo 2: Multiplique uma ou ambas as equações por algum número para obter coeficientes opostos para x ou para y. Precisamos eliminar uma das variáveis ao adicionar as equações. Portanto, temos que fazer com que um coeficiente seja a e o outro –a.

Passo 3: Adicione as equações. Fazendo isso, eliminaremos uma variável e teremos uma equação com uma incógnita.

Passo 4: Resolva a equação do passo 3 para a variável restante.

Passo 5: substitua o valor do passo 4 em qualquer equação e resolva para a segunda variável.

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10 Exercícios de sistema de equações de 1 grau resolvidos

EXERCÍCIO 1

Resolva o sistema de equações usando o método de substituição: $latex \begin{cases}x+2y=10 \\ 2x-y=5 \end{cases}$

Solução

Passo 1: Não temos nada para simplificar.

Passo 2: Podemos resolver a primeira equação para x:

$latex x+2y=10$

$latex x=10-2y$

Passo 3: Substituímos a expressão $latex x=10-2y$ na segunda equação:

$latex 2x-y=5$

$latex 2(10-2y)-y=5$

$latex 20-4y-y=5$

Passo 4: Resolva para y:

$latex 20-4y-y=5$

$latex -5y=-15$

$latex y=3$

Passo 5: Substituímos $latex y=3$ na primeira equação:

$latex x+2y=10$

$latex x+2(3)=10$

$latex x=4$

const alltoggles = document.getElementsByClassName("wp-block-ub-content-toggle-accordion-title-wrap"); const toggle1 = alltoggles[0]; toggle1.addEventListener('click', runToggle1); function runToggle1() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3" }); toggle1.removeEventListener('click', runToggle1); }

EXERCÍCIO 2

Resolva o sistema de equações usando o método de eliminação: $latex \begin{cases}x-y=3 \\ 2x+y=12 \end{cases}$

Solução

Passo 1: Não temos nada para simplificar e ambas as equações já estão na forma Ax+By=C.

Passo 2: Já temos coeficientes opostos na variável y.

Passo 3: Adicionamos as equações:

$latex x-y=3$

$latex + \hspace{1cm} 2x+y=12$

___________________

$latex 3x=15$

Passo 4: Resolvemos para x:

$latex 3x=15$

$latex x=5$

Passo 5: Substituímos $latex x=5$ na segunda equação:

$latex 2x+y=12$

$latex 2(5)+y=12$

$latex 10+y=12$

$latex y=2$

const toggle2 = alltoggles[1]; toggle2.addEventListener('click', runToggle2); function runToggle2() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_2" }); toggle2.removeEventListener('click', runToggle2);}

EXERCÍCIO 3

Resolva o seguinte usando o método de substituição: $latex \begin{cases}-2x-y=1 \\ 3x+4y=6 \end{cases}$

Solução

Passo 1: Não temos nada para simplificar.

Passo 2: Resolvemos a primeira equação para y:

$latex -2x-y=1$

$latex -y=1+2x$

$latex y=-1-2x$

Passo 3: Substituímos a expressão $latex y=-1-2x$ na segunda equação:

$latex 3x+4y=6$

$latex 3x+4(-1-2x)=6$

$latex 3x-4-8x=6$

Passo 4: Resolva para x:

$latex 3x-4-8x=6$

$latex -5x=10$

$latex x=-2$

Passo 5: Substituímos $latex x=-2$ na primeira equação:

$latex -2x-y=1$

$latex -2(-2)-y=1$

$latex 4-y=1$

$latex -y=-3$

$latex y=3$

const toggle3 = alltoggles[2]; toggle3.addEventListener('click', runToggle3); function runToggle3() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_3" }); toggle3.removeEventListener('click', runToggle3);}

EXERCÍCIO 4

Resolva o sistema de equações usando o método de eliminação: $latex \begin{cases}y=2x+7 \\ -6x-2y=-4 \end{cases}$

Solução

Passo 1: Escrevemos as equações na forma Ax+By=C:

$latex \begin{cases}-2x+y=7 \\ -6x-2y=-4 \end{cases}$

Passo 2: Multiplicamos a primeira equação por 2 para obter coeficientes opostos em y:

$latex \begin{cases}-4x+2y=14 \\ -6x-2y=-4 \end{cases}$

Passo 3: Adicionamos as equações:

$latex -4x+2y=14$

$latex + \hspace{1cm} -6x-2y=-4$

___________________

$latex -10x=10$

Passo 4: Resolvemos para x:

$latex -10x=10$

$latex x=-1$

Passo 5: Substituímos $latex x=-1$ na primeira equação:

$latex y=2x+7$

$latex y=2(-1)+7$

$latex y=5$

const toggle4 = alltoggles[3]; toggle4.addEventListener('click', runToggle4); function runToggle4() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_4" }); toggle4.removeEventListener('click', runToggle4);}

EXERCÍCIO 5

Resolva o sistema de equações usando o método de substituição: $latex \begin{cases}2(2x-4)+y=3 \\ -x+2y=4 \end{cases}$

Solução

Passo 1: Simplificamos a primeira equação:

$latex \begin{cases}4x-8+y=3 \\ -x+2y=4 \end{cases}$

Passo 2: Resolvemos a primeira equação para y:

$latex 4x-8+y=3$

$latex y=-4x+11$

Passo 3: Substituímos a expressão $latex y=-4x+11$ na segunda equação:

$latex -x+2y=4$

$latex -x+2(-4x+11)=4$

$latex -x-8x+22=4$

Passo 4: Resolvemos para x:

$latex -x-8x+22=4$

$latex -9x=-18$

$latex x=2$

Passo 5: Substituímos $latex x=2$ na segunda equação:

$latex -x+2y=4$

$latex -2+2y=4$

$latex 2y=6$

$latex y=3$

const toggle5 = alltoggles[4]; toggle5.addEventListener('click', runToggle5); function runToggle5() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_5" }); toggle5.removeEventListener('click', runToggle5);}

EXERCÍCIO 6

Resolva o seguinte usando o método eliminação: $latex \begin{cases}2x=3y-14 \\ 2y=x+8 \end{cases}$

Solução

Passo 1: Escrevemos as equações na forma Ax+By=C:

$latex \begin{cases}2x-3y=-14 \\ -x+2y=8 \end{cases}$

Passo 2: Multiplicamos a segunda equação por 2 para obter coeficientes opostos na x:

$latex \begin{cases}2x-3y=-14 \\ -2x+4y=16 \end{cases}$

Passo 3: Adicionamos as equações:

$latex 2x-3y=-14$

$latex + \hspace{1cm} -2x+4y=16$

___________________

$latex y=2$

Passo 4: Já obtivemos o valor de y:

$latex y=2$

Passo 5: Substituímos $latex y=2$ na primeira equação:

$latex 2x=3y-14$

$latex 2x=3(2)-14$

$latex 2x=-8$

$latex x=-4$

const toggle6 = alltoggles[5]; toggle6.addEventListener('click', runToggle6); function runToggle6() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_6" }); toggle6.removeEventListener('click', runToggle6);}

EXERCÍCIO 7

Resolva o sistema de equações: $latex \begin{cases}2x-3y=7 \\ 2x+3y=1 \end{cases}$

Solução

Vamos resolver por substituição. Então, resolvendo a primeira equação para x, temos:

$latex 2x-3y=7$

$latex 2x=3y+7$

$latex x=\frac{3y+7}{2}$

Usando a expressão $latex x=\frac{3y+7}{2}$ na segunda equação, temos:

$latex 2x+3y=1$

$latex 2\left(\frac{3y+7}{2}\right)+3y=1$

$latex 3y+7+3y=1$

Resolvendo a equação para y, temos:

$latex 3y+7+3y=1$

$latex 6y=-6$

$latex y=-1$

Usando o valor y=-1 na segunda equação, temos:

$latex 2x+3y=1$

$latex 2x+3(-1)=1$

$latex 2x-3=1$

$latex 2x=4$

$latex x=2$

A solução para o sistema é $latex x=2,~~y=-1$.

const toggle7 = alltoggles[6]; toggle7.addEventListener('click', runToggle7); function runToggle7() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_7" }); toggle7.removeEventListener('click', runToggle7);}

EXERCÍCIO 8

Resolva o sistema de equações: $latex \begin{cases}2x-7y=1 \\ 2x+3y=11 \end{cases}$

Solução

Vamos resolver por eliminação. Então, multiplicamos a segunda equação por -1 para obter coeficientes opostos em x:

$latex \begin{cases}2x-7y=1 \\ -2x-3y=-11 \end{cases}$

Somando as equações, temos:

$latex 2x-7y=1$

$latex + \hspace{1cm} -2x-3y=-11$

___________________

$latex -10y=-10$

Resolvendo para y, temos:

$latex y=1$

Usando o valor y=1 na primeira equação, temos:

$latex 2x-7y=1$

$latex 2x-7(1)=1$

$latex 2x=8$

$latex x=4$

A solução é $latex x=4,~~y=1$.

const toggle8 = alltoggles[7]; toggle8.addEventListener('click', runToggle8); function runToggle8() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_8" }); toggle8.removeEventListener('click', runToggle8);}

EXERCÍCIO 9

Resolva o sistema de equações: $latex \begin{cases}3x-4y=5 \\ 6x-4y=2 \end{cases}$

Solução

Podemos começar simplificando a segunda equação dividindo-a por 2:

$latex \begin{cases}3x-4y=5 \\ 3x-2y=1 \end{cases}$

Agora, vamos resolver por substituição. Então, resolvemos a segunda equação para x e temos:

$latex 3x-2y=1$

$latex 3x=2y+1$

$latex x=\frac{2y+1}{3}$

Usando $latex x=\frac{2y+1}{3}$ na primeira equação, temos:

$latex 3x-4y=5$

$latex 3\left(\frac{2y+1}{3}\right)-4y=5$

$latex 2y+1-4y=5$

Resolvendo a equação para y, temos:

$latex 2y+1-4y=5$

$latex -2y=4$

$latex y=-2$

Usando o valor y=-2 na segunda equação, temos:

$latex 3x-2y=1$

$latex 3x-2(-2)=1$

$latex 3x+4=1$

$latex 3x=-3$

$latex x=-1$

A solução para o sistema é $latex x=-1,~~y=-2$.

const toggle9 = alltoggles[8]; toggle9.addEventListener('click', runToggle9); function runToggle9() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_9" }); toggle9.removeEventListener('click', runToggle9);}

EXERCÍCIO 10

Encontre a solução para o sistema de equações: $latex \begin{cases}3x-y=1 \\ 5x+y=7 \end{cases}$

Solução

Vamos resolver por eliminação, já que temos coeficientes opostos em y:

$latex \begin{cases}3x-y=1 \\ 5x+y=7 \end{cases}$

Somando as equações, temos:

$latex 3x-y=1$

$latex + \hspace{1cm} 5x+y=7$

___________________

$latex 8x=8$

Resolvendo a equação para x, temos:

$latex x=1$

Usando o valor x=1 na segunda equação, temos:

$latex 5x+y=7$

$latex 5(1)+y=7$

$latex y=2$

A solução é $latex x=1,~~y=2$.

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Exercícios de sistemas de equações de 1 grau para resolver

Prática de sistemas de equações 2×2

Você completou os exercícios!

Resolva o sistema de equações $latex \begin{cases} -2x+3y=7 \\ 3x-y=7 \end{cases} $

Escreva a resposta na forma x=?, y=?.

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Você quer aprender mais sobre equações e sistemas de equações de primeiro grau? Olha para estas páginas:

Jefferson Huera Guzman

Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.

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