Exercícios de Funções Inversas Resolvidos e para Resolver

Uma função inversa é uma função que irá reverter o efeito produzido pela função original. Essas funções têm a principal característica de serem um reflexo da função original em relação à reta y = x. As coordenadas da função inversa são as mesmas da função original, mas os valores de x e y são trocados.

Veremos uma visão geral das funções inversas junto com o processo usado para encontrar a inversa de uma função. Além disso, veremos vários exercícios resolvidos para entender a aplicação deste processo.

ALGEBRA

Relevante para…

Aprender sobre funções inversas com exercícios resolvidos.

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Resumo de funções inversas

Funções inversas são funções que invertem o efeito da função original. O inverso de uma função tem os mesmos pontos que a função original, exceto que os valores de x e y são trocados. Por exemplo, se a função original contém os pontos (1, 2) e (-3, -5), a função inversa conterá os pontos (2, 1) e (-5, -3).

O inverso de $latex f(x)$ é denotado por $latex {{f}^{-1}}(x)$. Observe que na notação para inversos, o “-1” não é um expoente, apesar de parecer um. Portanto, temos que lembrar que:

$latex {{f}^{- 1}}(x)\neq \frac{1}{f(x)}$

Encontrando o inverso de uma função

Dada a função $latex f(x)$, podemos encontrar a função inversa $latex {{f}^{- 1}}(x)$ seguindo estos passos:

Passo 1: Primeiro, substituímos $latex f(x)$ por y. Isso nos ajuda a facilitar o resto do processo.

Passo 2: Substituímos cada x por um y e cada y por um x.

Passo 3: Resolvemos a equação obtida no passo 2 para y.

Passo 4: Substituímos y por $latex {{f}^{-1}}$, pois esta é a função inversa.

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Exercícios de funções inversas resolvidos

O processo para encontrar funções inversas é aplicado para resolver os exercícios a seguir. Cada exercício tem sua solução passo a passo para aprender como encontrar funções inversas. Recomenda-se tentar resolver os exercícios primeiro, antes de olhar para a solução.

EXERCÍCIO 1

Encontre a função inversa de $latex f(x)=2x-3$.

Solução

Passo 1: Substituímos $latex f(x)$ por y:

$latex f(x)=2x-3$

$latex y=2x-3$

Passo 2: Trocamos as variáveis x e y:

$latex x=2y-3$

Passo 3: Resolvemos a equação obtida para y:

$latex x=2y-3$

$latex x+3=2y$

$latex \frac{x+3}{2}=y$

Passo 4: Substituímos a y por $latex {{f}^{-1}}(x)$:

$latex {{f}^{-1}}(x)=\frac{x+3}{2}$

const alltoggles = document.getElementsByClassName("wp-block-ub-content-toggle-accordion-title-wrap"); const toggle1 = alltoggles[0]; toggle1.addEventListener('click', runToggle1); function runToggle1() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3" }); toggle1.removeEventListener('click', runToggle1); }

EXERCÍCIO 2

Se tivermos a função $latex f(x)=3x+4$, encontre $latex {{f}^{- 1}}(x)$.

Solução

Passo 1: Começamos substituindo $latex f(x)$ por y para facilitar a resolução:

$latex f(x)=3x+4$

$latex y=3x+4$

Passo 2: Substituímos x por y e y por x:

$latex x=3y+4$

Passo 3: Isolamos o y na equação do passo 2:

$latex x=3y+4$

$latex x-4=3y$

$latex \frac{x-4}{3}=y$

Passo 4: Substituímos y por $latex {{f}^{-1}}(x)$:

$latex {{f}^{-1}}(x)=\frac{x-4}{3}$

const toggle2 = alltoggles[1]; toggle2.addEventListener('click', runToggle2); function runToggle2() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_2" }); toggle2.removeEventListener('click', runToggle2);}

EXERCÍCIO 3

Qual é a função inversa de $latex f(x)= \frac{x+4}{2x-5}$?

Solução

Passo 1: Temos que substituir $latex f(x)$ por y para facilitar o processo de resolução:

$latex f(x)=\frac{x+4}{2x-5}$

$latex y=\frac{x+4}{2x-5}$

Passo 2: Trocamos as variáveis x e y:

$latex x=\frac{y+4}{2y-5}$

Passo 3: Isolamos o y na equação obtida:

$latex x=\frac{y+4}{2y-5}$

$latex x(2y-5)=y+4$

$latex 2xy-5x=y+4$

$latex 2xy-y=5x+4$

$latex y(2x-1)=5x+4$

$latex y=\frac{5x+4}{2x-1}$

Passo 4: Temos que substituir $latex {{f}^{-1}}(x)$ por y:

$latex {{f}^{-1}}(x)=\frac{5x+4}{2x-1}$

const toggle3 = alltoggles[2]; toggle3.addEventListener('click', runToggle3); function runToggle3() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_3" }); toggle3.removeEventListener('click', runToggle3);}

EXERCÍCIO 4

Dada a função $latex f(x)= \log_{10}(x)$, encontre a função inversa $latex {{f}^{-1}}(x)$.

Solução

Passo 1: Começamos substituindo $latex f(x)$ por y para facilitar a visualização:

$latex f(x)=\log_{10}(x)$

$latex y=\log_{10}(x)$

Passo 2: Trocamos x por y e y por x:

$latex x=\log_{10}(y)$

Passo 3: Resolvemos a equação do passo 2 para y:

$latex x=\log_{10}(y)$

$latex {{10}^x}=y$

Passo 4: Substituímos a y por $latex {{f}^{-1}}(x)$:

$latex {{f}^{-1}}(x)={{10}^x}$

const toggle4 = alltoggles[3]; toggle4.addEventListener('click', runToggle4); function runToggle4() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_4" }); toggle4.removeEventListener('click', runToggle4);}

EXERCÍCIO 5

Se tivermos $latex f(x)= \sqrt{x-5}$, encontre $latex {{f}^{- 1}}(x)$.

Solução

Passo 1: Começamos substituindo $latex f(x)$ por y:

$latex f(x)=\sqrt{x-5}$

$latex y=\sqrt{x-5}$

Passo 2: Trocamos as variáveis x e y:

$latex x=\sqrt{y-5}$

Passo 3: Resolvemos para y quadrando ambos os lados:

$latex x=\sqrt{y-5}$

$latex {{x}^2}=y-5$

$latex {{x}^2}+5=y$

Passo 4: Substituímos a y por $latex {{f}^{-1}}(x)$:

$latex {{f}^{-1}}(x)={{x}^2}+5$

const toggle5 = alltoggles[4]; toggle5.addEventListener('click', runToggle5); function runToggle5() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_5" }); toggle5.removeEventListener('click', runToggle5);}

EXERCÍCIO 6

Encontre a função inversa de $latex f(x) = \frac{x+1}{x}$.

Solução

Passo 1: Substituímos $latex f(x)$ por y:

$latex f(x)=\frac{x+1}{x}$

$latex y=\frac{x+1}{x}$

Passo 2: Temos que substituir x por y e y por x:

$latex x=\frac{y+1}{y}$

Passo 3: Resolvemos para y:

$latex x=\frac{y+1}{y}$

$latex xy=y+1$

$latex xy-y=1$

$latex y(x-1)=1$

$latex y=\frac{1}{x-1}$

Passo 4: Substiuímos y por $latex {{f}^{-1}}(x)$:

$latex {{f}^{-1}}(x)=\frac{1}{x-1}$

const toggle6 = alltoggles[5]; toggle6.addEventListener('click', runToggle6); function runToggle6() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_6" }); toggle6.removeEventListener('click', runToggle6);}

EXERCÍCIO 7

Dada a função $latex f(x) =\sqrt[4]{2x+5}$, encontre sua função inversa.

Solução

Passo 1: Substituímos $latex f(x)$ por y:

$latex f(x)=\sqrt[4]{2x+5}$

$latex y=\sqrt[4]{2x+5}$

Passo 2: Trocamos as variáveis x e y:

$latex x=\sqrt[4]{2y+5}$

Passo 3: Elevamos ambos os lados ao quarto para resolver para y:

$latex x=\sqrt[4]{2y+5}$

$latex {{x}^4}=2y+5$

$latex {{x}^4}-5=2y$

$latex \frac{{{x}^4}-5}{2}=y$

Passo 4: Substituímos a y por $latex {{f}^{-1}}(x)$:

$latex {{f}^{-1}}(x)=\frac{{{x}^4}-5}{2}$

const toggle7 = alltoggles[6]; toggle7.addEventListener('click', runToggle7); function runToggle7() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_7" }); toggle7.removeEventListener('click', runToggle7);}

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Exercícios de funções inversas para resolver

Coloque seu conhecimento das funções inversas em prática com os exercícios a seguir. Se precisar de ajuda com isso, você pode olhar o processo usado e os exercícios resolvidos acima.

Qual é o inverso de $latex f(x)=5x-6$?

Escolha uma resposta

$latex {{f}^{-1}}(x)=\frac{x+5}{6}$

$latex {{f}^{-1}}(x)=\frac{x-5}{6}$

$latex {{f}^{-1}}(x)=\frac{x+6}{5}$

$latex {{f}^{-1}}(x)=\frac{x-6}{5}$

Encontre o inverso de $latex f(x)=7x+2$.

Escolha uma resposta

$latex {{f}^{-1}}(x)=\frac{x+2}{7}$

$latex {{f}^{-1}}(x)=\frac{x+7}{2}$

$latex {{f}^{-1}}(x)=\frac{x-7}{2}$

$latex {{f}^{-1}}(x)=\frac{x-2}{7}$

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Encontre o inverso de $latex f(x)=\frac{4x+3}{2x+5}$.

Escolha uma resposta

$latex {{f}^{-1}}(x)=\frac{3-5x}{4x-2}$

$latex {{f}^{-1}}(x)=\frac{5-3x}{2x-4}$

$latex {{f}^{-1}}(x)=\frac{3-5x}{2x-4}$

$latex {{f}^{-1}}(x)=\frac{3x-5}{4x-2}$

Qual é a função inversa de $latex g(x)=\sqrt{x-8}$?

Escolha uma resposta

$latex {{g}^{-1}}(x)=x+8$

$latex {{g}^{-1}}(x)=x-8$

$latex {{g}^{-1}}(x)={{x}^2}+8$

$latex {{g}^{-1}}(x)={{x}^2}-8$

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Encontre o inverso de $latex f(x)=\sqrt[5]{3x+11}$.

Escolha uma resposta

$latex {{f}^{-1}}(x)=\frac{{{x}^5}-11}{3}$

$latex {{f}^{-1}}(x)=\frac{{{x}^5}+11}{3}$

$latex {{f}^{-1}}(x)=\frac{{{x}^5}+3}{11}$

$latex {{f}^{-1}}(x)=\frac{{{x}^5}}{3-11}$

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Jefferson Huera Guzman

Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.

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Exercícios de funções inversas resolvidos

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EXERCÍCIO 7

Solução

Exercícios de funções inversas para resolver

Qual é o inverso de $latex f(x)=5x-6$?

Encontre o inverso de $latex f(x)=7x+2$.

Encontre o inverso de $latex f(x)=\frac{4x+3}{2x+5}$.

Qual é a função inversa de $latex g(x)=\sqrt{x-8}$?

Encontre o inverso de $latex f(x)=\sqrt[5]{3x+11}$.

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