Exercícios de Funções Exponenciais Resolvidos e para Resolver

Para avaliar qualquer função, simplesmente temos que usar a entrada fornecida. Então, temos:

$latex f(-2)={{2}^{-2}}$

$latex =\frac{1}{{{2}^2}}$

$latex =\frac{1}{4}$

Para representar graficamente uma função, podemos usar vários valores x para encontrar pontos que se encontram no gráfico. Sabemos que todas as funções exponenciais passam pelo ponto (0, 1), então já temos um ponto. Além disso, podemos usar os valores $latex x=-1$, $latex x=-2$, $latex x=1$ e $latex x=2$:

• Quando $latex x=-1$, temos $latex f(-1)={{2}^{-1}}=\frac{1}{2}$.
• Quando $latex x=-2$, temos $latex f(-2)={{2}^{-2}}=\frac{1}{4}$.
• Quando $latex x=1$, temos $latex f(1)={{2}^1}}=2$.
• Quando $latex x=2$, temos $latex f(2)={{2}^2}}=4$.

Traçando esses pontos e traçando a curva, temos o seguinte:

Este é um exemplo do uso de funções exponenciais para modelar o crescimento populacional. Temos a função $latex A=10000({{e}^{0.005t}})$ e temos o tempo $latex t=10$. Substituindo $latex t=10$, temos:

$latex A=10000({{e}^{0.005(10)}})$

$latex =10000({{e}^{0.05}})$

$latex =10000(1.0513)$

$latex =10513$

Então a população da região após 10 anos será 10513.

Sabemos que a função exponencial que modela o crescimento populacional tem a forma geral $latex P=N({{e}^{\lambda t}})$, onde N é a população inicial, λ é uma constante e t é o tempo. Temos que encontrar a constante λ com as informações fornecidas. Então, temos:

$latex P=N({{e}^{\lambda t}})$

$latex 20000=10000({{e}^{20 \lambda}})$

$latex \frac{20000}{10000}={{e}^{20 \lambda}}$

$latex 2={{e}^{20 \lambda}}$

$latex \ln(2)=20 \lambda$

$latex \frac{\ln(2)}{20}=\lambda$

$latex 0.0347=\lambda$

A fórmula que modela este crescimento populacional é $latex P=10000({{e}^{0.0347 t}})$.

Com as informações fornecidas, podemos completar a fórmula de crescimento populacional:

$latex P=N({{e}^{0.1234t}})$

$latex 37500=12500({{e}^{0.1234t}})$

Agora, vamos resolver para o tempo:

$latex 37500=12500({{e}^{0.1234t}})$

$latex \frac{37500}{12500}=({{e}^{0.1234t}})$

$latex 3=({{e}^{0.1234t}})$

$latex \ln(3)=0.1234t$

$latex \frac{\ln(3)}{0.1234}=t$

$latex 8.9=t$

Isso significa que a população vai chegar 37500 em 1959.

A função exponencial usada para calcular dinheiro com juros compostos é $latex D=A{{(1+ \frac{r}{n})}^{nt}}$, onde, D é o quantia final de dinheiro, A é a quantia inicial de dinheiro, r é a taxa de juros em decimais, n é o número de vezes que os juros é composto por ano e t é o tempo em anos.

Usando os dados fornecidos, temos:

$latex D=10000{{(1+\frac{0.075}{4})}^{4(10)}}$

$latex D=10000{{(1.01875)}^{40}}$

$latex D=21023.5$

Portanto, após 10 anos, haverá USD 21023,5 na conta.

Podemos usar os dados fornecidos para formar a função exponencial de juros compostos:

$latex D=A{{(1+\frac{r}{n})}^{nt}}$

$latex 10000=2000{{(1+\frac{0.07}{4})}^{4t}}$

$latex 10000=2000{{(1.0175)}^{4t}}$

$latex \frac{10000}{2000}={{(1.0175)}^{4t}}$

$latex 5={{(1.0175)}^{4t}}$

$latex \ln(5)=\ln({{(1.0175)}^{4t}})$

$latex \ln(5)=4t\ln(1.0175)$

$latex \frac{\ln(5)}{\ln(1.0175)}=4t$

$latex \frac{99.77}{4}=t$

$latex 23.2=t$

Portanto, após 23,2 anos, haverá USD 10.000 na conta.