O domínio pode ser calculado encontrando o conjunto de todos os valores possíveis para a variável independente, geralmente x. A imagem pode ser calculada encontrando o conjunto de todos os valores possíveis para a variável dependente, geralmente y.
A seguir, veremos um resumo do domínio e a imagem de uma função. Vamos revisar como encontrar o domínio e a imagem. Além disso, resolveremos vários exercícios de domínio e imagem para aprender o raciocínio usado na resolução deste tipo de exercícios.
Resumo de domínio e imagem
Domínio
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis da variável independente. Ou seja, o domínio é o conjunto de todos os valores de x que farão com que a função produza valores reais de y.
Para encontrar o domínio de uma função, lembramos o seguinte:
- O denominador de uma fração não pode ser igual a zero.
- O número sob um sinal de raiz quadrada não pode ser negativo.
Portanto, o domínio de uma função é encontrado procurando os valores da variável independente (geralmente x) que podemos usar. Devemos evitar 0 no denominador de uma fração e números negativos nas raízes quadradas.
Imagem
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis da variável dependente (geralmente y) após usar o domínio. Isso significa que a imagem é o conjunto dos valores de y que obtemos após usar todos os valores de x.
Para encontrar a imagem de uma função, consideramos o seguinte:
- A imagem é a extensão dos valores y, do valor mínimo ao valor máximo.
- Podemos substituir os valores de x para analisar o resultado, considerando se os valores são negativos ou positivos.
Temos que ter certeza de que estamos procurando valores máximos e mínimos.
Exercícios de domínio e imagem resolvidos
Os exercícios de domínio e imagem a seguir têm suas respectivas soluções, cada solução detalha o processo e o raciocínio utilizado para obter a resposta.
EXERCÍCIO 1
Encontre o domínio e a imagem da função $latex f(x)={{x}^2}+1$.
Solução
Domínio: A função $latex f(x)={{x}^2}+1$ é definida para todos os valores reais de x, uma vez que não há restrições para o valor de x. Portanto, o domínio de x é:
“Todos os valores reais de x“
Imagem: Uma vez que $latex {{x}^2}$ nunca é negativo, $latex {{x}^2}+1$ nunca é menor que 1. Então a imagem de $latex f(x)$ é:
“Todos os números reais $latex f(x) \geq 1$”
Podemos ver que x pode assumir qualquer valor no gráfico, mas os valores de $latex y=f(x)$ são maiores ou iguais a 1.
EXERCÍCIO 2
Encontre o domínio e a imagem da função $latex f(x)= \frac{1}{x+3}$.
Solução
Domínio: A função $latex f(x)= \frac{1}{x+3}$ não está definida para $latex x = -3$, pois isso produziria uma divisão por zero (teríamos um 0 no denominador). Portanto, o domínio de $latex (x)$ é:
“Todos os números reais, exceto -3”
Imagem: Não importa quão grande ou pequeno seja x, os valores de $latex f(x)$ nunca serão iguais a zero. Se tentarmos resolver a equação para 0, temos:
$latex 0= \frac{1}{x+3}$
Multiplicando ambos os lados por $latex x + 3$, temos:
$latex 0= 1$
Isto é impossível. Então, a imagem de $latex f(x)$ é:
“Todos os números reais exceto zero”
No gráfico, podemos ver que a função não está definida para $latex x=-3$ e que a função leva todos os valores de y exceto zero.
EXERCÍCIO 3
Encontre o domínio e a imagem da função $latex f(t)=\sqrt{5-t}$.
Solução
Domínio: A função $latex f(t)=\sqrt{5-t}$ não é definida para números reais maiores que 5, pois isso resultaria em números negativos abaixo da raiz quadrada e números imaginários para $latex f(t)$, então o domínio de $latex f(t)$ é:
“Todos os números reais, $latex t\leq 5$”
Imagem: Por definição de raiz quadrada, temos:
$latex f(t)=\sqrt{5-t}\geq 0$
Então, a imagem de $latex f(t)$ é:
“Todos os números reais, $latex f(t)\geq 0$”
No gráfico, podemos ver que $latex t$ não assume valores maiores que 5 e que o intervalo é maior ou igual a 0:
EXERCÍCIO 4
Determine o domínio e a imagem da função $latex f(x)=\frac{{{x}^2}+x-2}{{{x}^2}-x-2}$.
Solução
Domínio: O único problema que temos com essa função é que devemos ter cuidado para não dividir por zero. Então, os valores de x não podem assumir os valores que produzem uma divisão por zero. Então, tornamos o denominador igual a zero e resolvemos:
$latex {{x}^2}-x-2=0$
$latex (x+1)(x-2)=0$
$latex x=-1$ ou $latex x=2$
Portanto, o domínio é:
“Todos os números reais, exceto -1 e 2”
Imagem: A imagem é um pouco mais difícil de determinar, mas, neste caso, não temos restrições visíveis que tornem o intervalo maior ou menor que um valor específico. Verificamos isso com o gráfico da função :
Vemos que a função assume todos os valores de y, então a imagem é:
“Todos os números reais”
EXERCÍCIO 5
Determine o domínio e a imagem da função $latex g(x)=-\sqrt{-2x+5}$.
Solução
Domínio: O único problema que temos com esta função é que não podemos ter valores negativos dentro do sinal da raiz quadrada. Então, podemos fazer a expressão dentro da raiz quadrada maior ou igual a zero e resolver:
$latex -2x+5\geq 0$
$latex -2x\geq -5$
$latex 2x\leq 5$
$latex x\leq \frac{5}{2}$
Portanto, o domínio é:
“Todos os números reais $latex x\leq \frac{5}{2}$”
Imagem: Sabemos que, por definição, o resultado de uma raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero. No entanto, neste caso, temos um sinal negativo que precede a raiz quadrada, então a imagem é:
“Todos os números reais $latex g(x)\leq 0$”
Podemos olhar o gráfico para verificar isso:
EXERCÍCIO 6
Determine o domínio e a imagem da função $latex f(x)=-{{x}^4}+2$.
Solução
Domínio: Este é um problema fácil. Não há denominadores, então não temos problemas de divisão por zero e não há radicais, então não temos problemas com números negativos em raízes quadradas. Quando temos um polinômio como neste caso, o domínio é:
“Todos os números reais”
Imagem: A imagem varia entre os polinômios. Nesse caso, sabemos que $latex {{x}^4}$ é sempre positivo, então quando precedido por um sinal negativo, sempre obtemos um número negativo ou igual a 0. Isso significa que o ponto mais alto é 2 e a imagem é:
Todos os números reais, $latex f(x)\leq 2$”
No gráfico, podemos ver isso:
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
