Uma composição de funções é formada pegando as saídas de uma função e convertendo-as nas entradas de outra função. Essas funções podem ser muito úteis quando temos que modelar processos diferentes com funções diferentes.
A seguir, exploraremos uma breve visão geral da composição de funções e como obter a composição se tivermos duas funções. Além disso, veremos vários exercícios resolvidos para dominar o processo utilizado para obter a composição de funções.
Resumo de composição de funções
A composição de funções é uma operação onde duas funções como $latex f(x)$ e $latex g(x)$ geram uma nova função como $latex h(x)$ de forma que temos $latex h(x)=g(f(x))$. Isso significa que a função g é aplicada à função $latex f(x)$.
Então, basicamente, uma função é aplicada ao resultado de outra função.
Símbolo: Uma composição de funções também é denotada como $latex (g \circ f)(x)$, onde o pequeno círculo, $latex \circ$, é o símbolo da composição de funções. Não podemos substituir o círculo por um ponto (·), pois isso indica o produto de duas funções.
Domínio: A composição $latex f(g(x))$ é lida como “f de g de x“. Nessa composição, o domínio da função f torna-se $latex g(x)$, uma vez que o domínio é o conjunto de todos os valores de entrada da função.
Para aplicar a composição $latex f \circ g$, realizamos os seguintes dois passos:
Passo 1: Aplicamos a função g à entrada x e obtemos o resultado $latex g(x)$ como saída.
Passo 2: Aplicamos a função f usando $latex g(x)$ como entrada e obtemos o resultado $latex f(g(x))$ como saída.
Exercícios de composição de funções resolvidos
Os exercícios de composição de funções a seguir podem ser usados para entender completamente o processo usado para obter uma composição de funções. É aconselhável tentar resolver os exercícios sozinho antes de ver a resposta.
EXERCÍCIO 1
Encontre a composição $latex f(g(x))$ se tivermos as funções $latex f(x)=2x+3$ e $latex g(x)=x+1$.
Solução
Para encontrar a combinação $latex f(g(x))$, temos que usar as saídas da função $latex g(x)$ nas entradas de $latex f (x)$. Então, usamos $latex x+1$ como entradas da função f e temos:
$latex f(g(x))=2(x+1)+3$
$latex f(g(x))=2x+2+3$
$latex f(g(x))=2x+5$
EXERCÍCIO 2
Encontre a composição $latex f \circ g$ se tivermos as funções $latex f(x)={{x}^2}+5$ e $latex g(x)=x+1$.
Solução
A composição $latex f\circ g$ também pode ser escrita como $latex f(g(x))$. Então, temos que pegar a saída de $latex g(x)$ e usá-la como a entrada de $latex f(x)$. Começamos substituindo cada valor de x na função f pela função g:
$latex f(g(x))={{(x+1)}^2}+5$
Agora, podemos aplicar o expoente para expandir e simplificar a função:
$latex f(g(x))={{x}^2}+2x+1+5$
$latex f(g(x))={{x}^2}+2x+6$
EXERCÍCIO 3
Temos as funções $latex f(x)=2{{x}^2}+3x-10$ e $latex g(x)=-x+2$. Encontre a composição $latex f\circ g$.
Solução
Semelhante ao exercício anterior, sabemos que a composição $latex f \circ g$ pode ser escrita como $latex f(g(x))$. Portanto, substituímos cada x na função $latex f(x)$ pela função $latex g(x)$.
Em seguida, expandimos os parênteses com expoente e simplificamos a função composta:
$latex f\circ g=2{{(-x+2)}^2}+3(-x+2)-10$
$latex =2({{x}^2}-2x+4)-3x+6-10$
$latex =2{{x}^2}-4x+8-3x+6-10$
$latex f\circ g=2{{x}^2}-7x+4$
EXERCÍCIO 4
Realizar a composição de funções $latex g\circ f$ se temos as funções $latex f(x)=6{{x}^2}+8x-10$ e $latex g(x)=\frac{1}{2}x+5$.
Solução
Neste caso, temos a composição $latex g \circ f$ que é igual a $latex g(f(x))$. Portanto, usamos as saídas de $latex f(x)$ como as entradas de $latex g(x)$:
$latex g\circ f=\frac{1}{2}(6{{x}^2}+8x-10)+5$
$latex =3{{x}^2}+4x-5+5$
$latex g\circ f=3{{x}^2}+4x$
EXERCÍCIO 5
Temos as funções $latex f(x)=2{{x}^2}+5$ e $latex g(x)=\sqrt{-2x+4}$. Encontre a composição $latex f(g(x))$.
Solução
Temos que pegar a função $latex g(x)$ e usá-la como entrada para $latex f(x)$. Nesse caso, a função $latex g(x)$ tem raiz quadrada. Vamos ver o que acontece quando você expande e simplifica:
$latex f(g(x))=2{{(\sqrt{-2x+4})}^2}+5$
$latex =2(-2x+4)+5$
$latex =-4x+8+5$
$latex =-4x+13$
EXERCÍCIO 6
Calcule a composição $latex g\circ f$ se temos as funções $latex f(x)=16\sqrt{x+2}$ e $latex g(x)=\sqrt{x}$.
Solução
Sabemos que esta composição equivale a ter $latex g(f(x))$. Portanto, usamos as saídas de $latex f(x)$ como as entradas de $latex g(x)$. Este caso é interessante porque temos uma raiz quadrada que vai dentro de outra raiz quadrada:
$latex g\circ f=\sqrt{16\sqrt{x+2}}$
$latex =4\sqrt{\sqrt{x+2}}$
Podemos escrever radicais como expressões exponenciais com expoentes fracionários e, em seguida, aplicar a regra de potência de uma potência para simplificar:
$latex 4\sqrt{\sqrt{x+2}}=4{{[{{(x+2)}^{\frac{1}{2}}}]}^{\frac{1}{2}}}$
$latex =4{{(x+2)}^{\frac{1}{4}}}$
Agora, reescrevemos a expressão exponencial como a quarta raiz:
$latex g\circ f=4\sqrt[4]{x+2}$
EXERCÍCIO 7
Se tiver-mos $latex f(x)=3{{x}^2}+2x-6$, encontre a composição de funções $latex f\circ f$.
Solução
Nos exercícios anteriores, vimos apenas composições de duas funções diferentes. No entanto, também é possível ter composições com a mesma função. Só temos que substituir cada valor x pela própria função:
$$f\circ f=3{{(3{{x}^2}+2x-6)}^2}+2(3{{x}^2}+2x-6)-6$$
$$=3(9{{x}^4}+12{{x}^3}-32{{x}^2}-24x+36)+6{{x}^2}+4x-12-6$$
$$=27{{x}^4}+36{{x}^3}-96{{x}^2}-72x+108+6{{x}^2}+4x-12-6$$
$latex f\circ f=27{{x}^4}+36{{x}^3}-90{{x}^2}-68x+90$
Exercícios de composição de funções para resolver
Coloque em prática o que você aprendeu sobre composição de funções resolvendo os seguintes exercícios. Escolha uma resposta e verifique se você acertou. Confira os exercícios resolvidos acima caso precise de ajuda.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
