Equações lineares com duas incógnitas são equações que têm duas variáveis que não são elevadas a nenhuma potência. Um exemplo de uma equação com duas incógnitas é x+2y=5. Essas equações só podem ser resolvidas se soubermos o valor de uma variável. Caso contrário, a equação tem um número infinito de soluções.
Neste artigo, nos familiarizamos com a resolução de equações lineares em duas incógnitas com exemplos trabalhados para ajudar a entender os conceitos.
Passos para resolver equações com duas incógnitas
A seguir estão os passos que podemos tomar para resolver uma equação linear com duas incógnitas.
Se você quer aprender a resolver sistemas de equações com duas incógnitas, você pode visitar este artigo: Como Resolver Sistemas de Equações do 1 Grau com Duas Incógnitas.
1. Substituir o valor de uma variável na equação.
Se sabemos o valor de uma variável, a colocamos na equação dada. Se não tivermos um valor dado, a equação terá automaticamente um número infinito de soluções.
2. Simplifique os dois lados da equação.
- Removemos os parênteses (usando a propriedade distributiva) se houver algum.
- Eliminamos as frações (multiplicamos pelo mínimo múltiplo comum).
- Simplificamos os termos semelhantes.
3. Isolar a variável em um lado da equação.
Realizamos operações para mover a variável para um lado da equação e as constantes para o outro lado.
4. Resolva completamente para a variável.
Por exemplo, se temos $latex 4x=8$, dividimos ambos os lados por 4 para obter $latex x=2$.
5. Verifique a resposta.
Substitua os valores das variáveis na equação original para verificar se obtivemos uma equação correta.
Exercícios de equações com duas incógnitas
EXERCÍCIO 1
Se o valor de y for igual a 5, encontre o valor de x na equação $latex 3x-4y=10$.
Solução
Passo 1: Substituir: temos que $latex y=5$, então, substituímos:
$latex 3x-4y=10$
$latex 3x-4(5)=10$
$latex 3x-20=10$
Passo 2: Simplifique: não temos nada para simplificar:
Passo 3: Resolva para a variável: adicionamos 20 a ambos os lados:
$latex 3x-20=10$
$latex 3x-20+20=10+20$
$latex 3x=30$
Passo 4: Resolvemos: Dividimos ambos os lados por 3:
$$\frac{3x}{3}=\frac{30}{3}$$
$latex x=10$
EXERCÍCIO 2
Temos que o valor de y é igual a -3, resolva a equação $latex -3x+5y=-6$ para x.
Solução
Passo 1: Substituir: temos $latex y = -3$, então substituímos:
$latex -3x+5y=-6$
$latex -3x+5(-3)=-6$
$latex -3x-15=-6$
Passo 2: Simplifique: não temos termos semelhantes.
Passo 3: Resolva para a variável: adicionamos 15 a ambos os lados:
$latex -3x-15+15=-6+15$
$latex -3x=9$
Passo 4: Resolvemos: Dividimos ambos os lados por -3:
$$\frac{-3x}{-3}=\frac{9}{-3}$$
$latex x=-3$
EXERCÍCIO 3
Se tivermos $latex y=2$, encontre o valor de $latex x$ na equação $latex 2x+4y=10-x+7$.
Solução
1. Substituímos o valor da variável:
$latex 2x+4(2)=10-x+7$
$latex 2x+8=10-x+7$
2. Simplificamos:
- Não temos parênteses.
- Não temos frações.
- Combinamos termos semelhantes: $latex 2x+8=17-x$.
3. Isolamos a variável: movemos o 8 para a direita e o –x para a esquerda:
$latex 2x+8-8=17-x-8$
$latex 2x=9-x$
$latex 2x+x=9-x+x$
$latex 3x=9$
4. Resolvemos para $latex x$: dividimos ambos os lados por 3:
$$\frac{3}{3}x=\frac{{9}}{3}$$
$$x=\frac{{9}}{3}=3$$
5. Verificamos a resposta: substituímos os valores das variáveis na equação original:
$latex 2(3)+4(2)=10-(3)+7$
$latex 6+8=10-3+7$
$latex 14=14$
Resposta: $latex y=2, x=3$.
EXERCÍCIO 4
Se tivermos $latex x=4$, encontre o valor de $latex y$ na equação $latex 5x-2y+5=12-3x+15$.
Solução
1. Substituímos o valor da variável:
$$5(4)-2y+5=12-3(4)+15$$
$latex 20-2y+5=12-12+15$
2. Simplificamos:
- Não temos parênteses.
- Não temos frações.
- Combinamos termos semelhantes: $latex 25-2y=15$.
3. Isolamos a variável: movemos o 25 para a direita:
$latex 25-2y-25=15-25$
$latex -2y=-10$
4. Resolvemos para $latex y$: dividimos ambos os lados por -2:
$$\frac{-2}{-2}y=\frac{{-10}}{-2}$$
$$y=\frac{{-10}}{-2}=5$$
5. Verificamos a resposta: substituímos os valores das variáveis na equação original:
$$5(4)-2(5)+5=12-3(4)+15$$
$latex 20-10+5=12-12+15$
$latex 15=15$
Resposta: $latex y=5, x=4$.
EXERCÍCIO 5
Encontre o valor de $latex x$ e $latex y$ na equação $latex 3x-2y=20+x$.
Solução
Não temos nenhum valor dado de qualquer variável, então esta equação tem um número infinito de soluções. Por exemplo, suponha $latex x=1$, então teríamos:
$latex 3x-2y=20+x$
$latex 3(1)-2y=20+1$
$latex 3-2y=21$
$latex -2y=21-3$
$latex -2y=18$
$latex y=-9$
Agora, suponha que $latex x=2$, então teríamos:
$latex 3x-2y=20+x$
$latex 3(2)-2y=20+2$
$latex 6-2y=22$
$latex -2y=22-6$
$latex -2y=16$
$latex y=-8$
Poderíamos passar pelo processo com valores diferentes de $latex x$ e sempre teríamos respostas diferentes. Isso significa que há um número infinito de soluções.
EXERCÍCIO 6
Se o valor de x for igual a -2, resolva a equação $latex 4y+2(2y+3)=3x-4$ para y.
Solução
Passo 1: Substituir: temos $latex x = -2$, então substituímos:
$latex 4y+2(2y+3)=3(-2)-4$
$latex 4y+2(2y+3)=-6-4$
Passo 2: Simplificar: expandimos os parênteses e combinamos termos semelhantes:
$latex 4y+2(2y+3)=-6-4$
$latex 4y+4y+6=-10$
$latex 8y+6=-10$
Passo 3: Resolva para a variável: subtraímos 6 de ambos os lados:
$latex 8y+6-6=-10-6$
$latex 8y=-16$
Passo 4: Resolvemos: Dividimos ambos os lados por 8:
$$\frac{8y}{8}=\frac{16}{-8}$$
$latex y=-2$
EXERCÍCIO 7
Se tivermos $latex x=6$, encontre o valor de $latex y$ na equação $latex x+4(y+2)=10+2y+2x$.
Solução
1. Substituímos o valor da variável:
$latex 6+4(y+2)=10+2y+2(6)$
$latex 6+4(y+2)=10+2y+12$
2. Simplificamos:
- Simplificamos os parênteses: $latex 6+4y+8=10+2y+12$.
- Não temos frações.
- Combinamos termos semelhantes: $latex 4y+14=2y+22$.
3. Isolamos a variável: movemos o 14 para a direita e 2y para a esquerda:
$latex 4y+14-14=2y+22-14$
$latex 4y=2y+8$
$latex 4y-2y=2y+8-2y$
$latex 2y=8$
4. Resolvemos para $latex y$: dividimos ambos os lados por 2:
$$\frac{2}{2}y=\frac{{8}}{2}$$
$$y=\frac{{8}}{2}=4$$
5. Verificamos a resposta: substituímos os valores das variáveis na equação original:
$$6+4(4+2)=10+2(4)+2(6)$$
$latex 6+4(6)=10+8+12$
$latex 30=30$
Resposta: $latex y=4, x=6$
EXERCÍCIO 8
Se o valor de z for igual a 5, resolva a equação $latex 4y+2z=2(3y+10)+z-11$ para y.
Solução
Passo 1: Substituir: substituímos $latex z=5$ na equação:
$$4y+2(5)=2(3y+10)+5-11$$
$$4y+10=2(3y+10)+5-11$$
Passo 2: Simplificar: expandimos os parênteses e combinamos termos semelhantes:
$latex 4y+10=6y+20+5-11$
$latex 4y+10=6y+14$
Passo 3: Resolva para a variável: subtraímos 10 e 6 e de ambos os lados:
$latex 4y+10-10=6y+14-10$
$latex 4y=6y+4$
$latex 4y-6y=6y+4-6y$
$latex -2y=4$
Passo 4: Resolvemos: Dividimos ambos os lados por -2:
$$\frac{-2y}{-2}=\frac{4}{-2}$$
$latex y=-2$
EXERCÍCIO 9
Se tivermos $latex y=2$, encontre o valor de $latex x$ na equação $latex \frac{1}{3}x+2y+\frac{1}{2}x=y+x+1 $.
Solução
1. Substituímos o valor da variável:
$$\frac{1}{3}x+2(2)+\frac{1}{2}x=2+x+1$$
$$\frac{1}{3}x+4+\frac{1}{2}x=2+x+1$$
2. Simplificamos:
- Não temos parênteses.
- Simplificamos frações: multiplicamos por 6: $latex 2x+24+3x=12+6x+6$.
- Combinamos termos semelhantes: $latex 5x+24=18+6x$.
3. Isolamos a variável: movemos o 24 para a direita e o 6x para a esquerda:
$latex 5x+24-24=18+6x-24$
$latex 5x=6x-6$
$latex 5x-6x=6x-6-6x$
$latex -x=-6$
4. Resolvemos para $latex x$: dividimos ambos os lados por -1:
$$\frac{-1}{-1}x=\frac{{-6}}{-1}$$
$$x=\frac{{-6}}{-1}=6$$
5. Verificamos a resposta: substituímos os valores das variáveis na equação original:
$$\frac{1}{3}(6)+2(2)+\frac{1}{2}(6)=(2)+(6)+1$$
$latex 2+4+3=2+6+1$
$latex 9=9$
Resposta: $latex y=2, x=6$
EXERCÍCIO 10
Se o valor de y for igual a -3, resolva a equação $latex \frac{y+1}{2}+2x=2(2y+6)+x+2$ para x.
Solução
Passo 1: Substituir: temos $latex y=-3$, então substituímos:
$$\frac{-3+1}{2}+2x=2(2(-3)+6)+x+2$$
$$\frac{-3+1}{2}+2x=2(-6+6)+x+2$$
Passo 2: Simplificar: combinamos termos semelhantes e simplificamos:
$$\frac{-2}{2}+2x=2(0)+x+2$$
$latex -1+2x=x+2$
Passo 3: Resolva para a variável: adicionamos 1 e subtraímos x de ambos os lados:
$latex -1+2x+1=x+2+1$
$latex 2x=x+3$
$latex 2x-x=x+3-x$
$latex x=3$
Passo 4: Resolvemos: não precisamos mais dividir:
$latex x=3$
EXERCÍCIO 11
Resolva a equação $latex 2x+2y=3x+10$ para y.
Solução
Passo 1: Substituir: neste caso não temos nenhum valor dado, então automaticamente, a equação tem um número infinito de soluções. Por exemplo, suponha que temos $latex x = 0$, então teríamos:
$latex 2x+2y=3x+10$
$latex 2(0)+2y=3(0)+10$
$latex 2y=10$
$latex y=5$
Se agora temos $latex x=1$:
$latex 2x+2y=3x+10$
$latex 2(1)+2y=3(1)+10$
$latex 2+2y=3+10$
$latex 2+2y=13$
$latex 2y=15$
$latex y=15/2$
Poderíamos continuar com valores diferentes e cada vez obteríamos resultados diferentes, portanto, por não ter um valor especificado de uma variável, a equação tem infinitas soluções.
Exercícios práticos de equações lineares com duas incógnitas
Se x = 7, qual é o valor de y em $latex 4(x+8)-2y=3y+10$?
Escreva a resposta na caixa.
Veja também
Interessado em aprender mais sobre equações? Veja estas páginas: