Para descobrir se uma função tem uma inversa, podemos usar o teste da linha horizontal com seu gráfico. Se qualquer linha horizontal desenhada cruzar a função mais de uma vez, a função não tem inversa. Para que uma função tenha um inverso, cada saída da função deve ser produzida por uma única saída.
Veja os exemplos a seguir para compreender totalmente essa ideia.
Definição de função inversa
Antes de começar com as inversas de funções, temos que rever brevemente as funções.
Vamos considerar a função $latex f(x)=2x-3$. Sabemos como avaliar a função f em 2, $latex f(2)=2(2) -3=1$. Podemos pensar na função f como algo que transforma 2 em 1 e 4 em 5:
Assim, como a função f atua sobre os números e os transforma, podemos pensar na inversa de f como algo que “inverte” o efeito da função f. Ou seja, a inversa de f deve tomar 1 como entrada e produzir 2 e 5 para produzir 4.
Suponha que temos a função $latex g(x)=\frac{x+3}{2}$. Ao avaliá-la com a entrada 1, resulta em $latex g(1)=\frac{1+3}{2}=2$ e ao avaliá-la com a entrada 5, resulta em $latex g(5)=\frac{5+3}{2}=4$. Podemos ver que a função g parece reverter o efeito da função f.
Para provar que a função g é a inversa de f, devemos mostrar que isso é verdadeiro para qualquer valor de x no domínio de f. Ou seja, a função g deve pegar $latex f(x)$ e retornar x.
Então $latex g(f (x))=x$ deve ser verdadeiro para todos os valores de x no domínio de f. Uma maneira de verificar isso é simplesmente verificar se $latex g(f(x))$ retorna x:
$latex g(f(x))=\frac{2x-3+3}{2}$
$latex g(f(x))=\frac{2x}{2}$
$latex g(f(x))=x$
Usando $latex {{f}^{ -1}}$ para denotar o inverso de f, acabamos de mostrar que $latex g={{f}^{-1}}$.
Gráficos de funções inversas
Sabemos que a reflexão de um ponto (a, b) em relação ao eixo x é (a, -b) e a reflexão de (a, b) em relação ao eixo y é (-a, b). Agora queremos refletir em relação à linha $latex y=x$. O gráfico a seguir ilustra a reflexão do ponto (a, b) em relação à linha $latex y=x$ para formar o ponto (b, a):
Se temos a função $latex f(x)={{x}^3}+1$, então temos $latex f(1)=2$ e o ponto (1, 2) está no gráfico de f. A função inversa de f deve tomar 2 como entrada e produzir 1 como saída, ou seja, $latex {{f}^{-1}}(2)=1$ e o ponto (2, 1) está no gráfico de $latex {{f}^{-1}}$. O ponto (2, 1) é o reflexo do ponto (1, 2) em relação à reta $latex y=x$.
O mesmo acontece com o resto dos pontos no gráfico de f, então o inverso é o gráfico que resulta ao refletir o gráfico de f em relação à reta $latex y=x$:
Como saber se uma função tem inversa?
Algumas funções não possuem inversas. Por exemplo, suponha que temos a função $latex f(x)={{x}^2}$. A função pode ter dois números diferentes e produzir a mesma saída, por exemplo, $latex f(3)=9$ e $latex f(-3)=9$. Se f tivesse uma inversa, isso significaria que essa função deveria levar 9 para produzir 3 e -3.
No entanto, isso vai contra a definição de uma função, que afirma que cada entrada deve produzir apenas uma saída. Portanto, não há função inversa de f.
Em termos de gráficos, se f tivesse uma inversa, então seu gráfico seria um reflexo do gráfico de f em relação a $latex y=x$:
Podemos ver que o gráfico refletido não passa no teste da linha vertical, de modo que o gráfico não representa uma função. Podemos generalizar isso da seguinte maneira:
Uma função f tem uma inversa apenas se quando seu gráfico é refletido em relação a $latex y=x$, o resultado é um gráfico que passa no teste de linha vertical. Mas podemos simplificar isso. Podemos determinar antes de refletir o gráfico se a função tem uma inversa ou não usando o teste da linha horizontal.
Teste de linha horizontal
Temos a função f. O teste da linha horizontal nos diz que:
- Se qualquer linha horizontal interceptar o gráfico de f mais de uma vez, então f não tem uma inversa.
- Se qualquer linha horizontal não cruzar o gráfico de f mais de uma vez, então f tem uma inversa.
EXEMPLOS
Usando o teste da linha horizontal com a função $latex f(x)={{x}^3}+x-2$, podemos ver que a função passa neste teste, portanto, tem uma inversa.
Usando o teste de linha horizontal com a função $latex f(x)={{x}^3}-2{{x}^2}-x$, podemos ver que a função não passa neste teste, portanto, não tem uma inversa.
Encontre funções inversas
Vamos começar considerando uma função simples $latex f(x)=2x+3$.
O gráfico de f é uma linha com inclinação 2, portanto, ela passa no teste da linha horizontal e tem uma inversa.
Existem dois passos necessários para avaliar f em um número x. Primeiro, multiplicamos x por 2 e depois somamos 3.
Para obter a inversa da função, devemos inverter esses efeitos na ordem inversa. Assim, para formar a função inversa $latex {{f}^{- 1}}$, começamos invertendo a soma de 3 subtraindo 3. Em seguida, invertemos a multiplicação por 2 dividindo por 2. Portanto, temos:
$latex {{f}^{{-1}}}(x)=\frac{x-3}{2}$
Passos para encontrar o inverso de uma função f
Passo 1: Substituímos $latex f(x)$ por y na equação da função.
Passo 2: Trocamos os x e y.
Passo 3: Resolvemos para y.
Passo 4: Substituímos y por $latex {{f}^{-1}}(x)$.
EXERCÍCIO 1
Encontre a inversa de $latex f(x)=5-\frac{x}{3}$.
Passo 1: $latex y=5-\frac{x}{3}$
Passo 2: $latex x=5-\frac{y}{3}$
Passo 3: $latex y=15-3x$
Passo 4: $latex {{f}^{{-1}}}(x)=15-3x$
EXERCÍCIO 2
Encuentre a inversa de $latex f(x)={{x}^3}+5$.
Passo 1: $latex y={{x}^3}+5$
Passo 2: $latex x={{y}^3}+5$
Passo 3: $latex y=\sqrt[3]{{x-5}}$
Passo 4: $latex {{f}^{{-1}}}=\sqrt[3]{{x-5}}$
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Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
