Como Saber se uma Função é Linear?

Para saber se uma função é linear ou não, precisamos verificar se a equação é um polinômio de primeiro grau, ou seja, que a função deve ter a forma $latex f(x)=mx+b$ quando reorganizada e a variável independente x deve ter um expoente de 1.

ALGEBRA

Relevante para…

Aprender como determinar se uma função é linear ou não.

Ver método

Conteúdo

ALGEBRA

Relevante para…

Aprender como determinar se uma função é linear ou não.

Ver método

O que são funções lineares?

Uma função linear é uma equação algébrica, na qual cada termo é uma constante ou o produto de uma constante e uma variável (elevada à primeira potência). Por exemplo, a equação $latex y=ax+b$ é uma função linear, pois ambas as variáveis x e y atendem aos critérios e as constantes a e b também.

O expoente de x é 1, ou seja, é elevado à primeira potência e a equação segue a definição de uma função: para cada entrada (x) existe apenas uma saída (y). O gráfico de uma função linear é uma linha reta.

EXEMPLOS

As seguintes são funções lineares:

$latex f(x)=4x+3$
$latex y=2x-5$
$latex x+2y=4$
$latex f(x)=\frac{1}{3}x+6$

Gráficos de funções lineares

A origem do nome “linear” vem do fato de que o conjunto de soluções deste tipo de funções forma uma linha reta no plano cartesiano. No gráfico de uma função linear $latex f(x)=mx+b$, m determina a inclinação dessa reta, ou seja, a inclinação e b determina a interceptação em y, ou seja, o ponto onde a linha se cruza o eixo y.

Se precisar de ajuda com este tópico, verifique nossa guia sobre como representar graficamente funções lineares.

EXEMPLOS

A seguinte é o gráfico de $latex f(x)=2x-2$:

A seguinte é o gráfico de $latex f(x)=-x+3$:

A seguinte é o gráfico de $latex f(x)=\frac{1}{3}x+1$:

Como saber se uma função é linear?

Uma função linear cria uma linha reta sendo representada graficamente no plano cartesiano. Portanto, se for possível representar graficamente a função, você pode determinar facilmente se uma função é linear verificando se seu gráfico produz uma linha reta.

Para saber se uma função é linear sem a necessidade de representar graficamente, precisamos verificar se a função tem as características de uma função linear. Funções lineares são polinômios de primeiro grau.

Verifique se a variável independente ou y está sozinha em um lado da equação. Se não for, reorganize a equação para que fique. Por exemplo, se temos a equação $latex 3x+4y=4$, movemos $latex 3x$ para a direita para obter $latex 4y=-3x+4$ e, em seguida, dividimos a equação inteira por 4 para obter $latex y=-\frac{3}{4}x+1$.

Agora, temos que verificar que a equação formada é de fato uma função linear. Para uma equação ser uma função linear, a equação deve ser um polinômio de primeiro grau. Isso significa que a potência da variável independente ou x deve ser 1. Em nosso exemplo, vemos que x tem uma potência de 1, então $latex y=-\frac{3}{4}x+1$ é uma função linear.

Exercícios resolvidos

EXERCÍCIO 1

Determine se a equação $latex y=3x+2$ é uma função linear.

Solução: Podemos ver facilmente que a variável x tem uma potência de 1, então a equação é uma função linear. Podemos verificar isso obtendo seu gráfico:

Vemos que obtivemos uma linha reta, então a equação é uma função linear.

EXERCÍCIO 2

Determine se a equação $latex 2x-2y=6$ é uma função linear.

Solução: Podemos isolar a variável dependente e facilitar a visualização da equação. Então nós temos:

$latex 2x-2y=6$

$latex -2y=-2x+6$

$latex y=x-3$

Vemos que novamente temos a variável x com uma potência de 1, portanto, é uma função linear. Olhando para o seu gráfico, temos:

O gráfico é uma linha reta, então a equação é uma função linear.

EXERCÍCIO 3

Determine se a equação $latex y=2{{x}^2} -3$ é uma função linear.

Solução: Neste caso, vemos que a variável x tem potência 2. Isso significa que a função não é linear. Esta é uma função quadrática. Vamos olhar seu gráfico para verificar isso: