Para saber se uma função é simétrica, devemos olhar seu gráfico e identificar algumas características que são exclusivas das funções simétricas. Por exemplo, o gráfico pode ter um reflexo no eixo x, no eixo y ou pode ter simetria rotacional em relação à origem.
Neste artigo, veremos os diferentes tipos de simetria com exemplos para ilustrar as ideias.
ALGEBRA
Relevante para…
Aprender a determinar se uma função tem algum tipo de simetria.
ALGEBRA
Relevante para…
Aprender a determinar se uma função tem algum tipo de simetria.
Como saber se um gráfico é simétrico?
Podemos saber se um gráfico é simétrico em relação a uma linha ou ponto, se o gráfico não muda quando é refletido em relação a essa linha ou é girado em torno desse ponto.
A simetria pode ser útil quando queremos representar graficamente uma equação, pois nos diz que, se conhecermos uma parte do gráfico, também saberemos a parte simétrica restante do gráfico.
Podemos distinguir três tipos principais de simetria:
1. Um gráfico tem simetria em relação ao eixo x se quando temos a (a, b) no gráfico, também temos a (a, -b). A seguir está um gráfico com simetria em relação ao eixo x:
2. Um gráfico tem simetria em relação ao eixo y se quando temos o ponto (a, b) no gráfico, também temos a (-a, b). A seguir está um gráfico com simetria em relação ao eixo y:
3. Um gráfico tem simetria em relação à origem se quando temos o ponto (a, b) no gráfico, também temos a (-a, -b). A seguir está um gráfico que possui simetria em relação à origem:
Lembre-se de que a maioria dos gráficos não possui nenhum tipo de simetria. Além disso, também é possível que um gráfico tenha mais de um tipo de simetria. Por exemplo, o gráfico de um círculo centrado na origem tem todos os três tipos de simetrias ao mesmo tempo:
Como saber se uma função possui simetria ímpar ou par?
Podemos distinguir dois tipos de simetrias de gráficos de funções:
Simetria de reflexão em relação ao eixo y. Isso acontece quando temos $latex f(x)=f(-x)$.
Simetria rotacional em relação à origem. Isso acontece quando temos $latex f(-x)=-f(x)$.
Observamos que funções como $latex f(x)={{x}^2}$ e $latex f(x)={{x}^4}$, onde o expoente de x é par, terão a propriedade de que $latex f(x)=f(-x)$ já que -1 elevado a um expoente par é igual a 1.
Da mesma forma, funções como $latex f(x)=x$ e $latex f(x)={{x}^3}$, onde o expoente em x é ímpar, terão a propriedade de que $latex f(-x)=-f(x)$ dado que -1 elevado a um expoente ímpar é igual a -1.
Portanto, temos as seguintes definições:
Uma função é par se $latex f(-x)=f(x)$. Uma função par tem um reflexo sobre o eixo y.
Uma função é ímpar se $latex f(-x)=-f(x)$. Uma função ímpar tem simetria rotacional em relação à origem.
Podemos decidir algebricamente se uma função é par, ímpar ou nenhuma substituindo x por –x e calculando $latex f(-x)$. Se tivermos $latex f(-x)=f(x)$, a função é par. Se tivermos $latex f(-x)=-f(x)$, a função é ímpar.
Como saber se uma função é simétrica em relação à origem?
A simetria em relação à origem é talvez a mais difícil de identificar. Para saber se uma função é simétrica em relação à origem, podemos identificar vários pontos no gráfico, pois, em um gráfico de funções com simetria em relação à origem, temos o ponto (a, b) e o ponto (-a, –b). Por exemplo, no gráfico a seguir, temos os pontos (2, 4) e (-2, -4). Isso significa que o gráfico é simétrico em relação à origem.
Teste de simetria sobre a origem
Um gráfico terá simetria em relação à origem se obtivermos uma equação equivalente quando todos os y forem substituídos por –y e todos os x forem substituídos por –x.
EXEMPLOS
- Determine se a função $latex y=2{{x}^3}-{{x}^5}$ tem simetria com respeito à origem.
Resposta: Substituímos x por -x e substituímos y por -y.
$latex y=2{{x}^3}-{{x}^5}$
$latex -y=2{{(-x)}^3}-{{(-x)}^5}$
$latex -5=-2{{x}^3}+{{x}^5}$
Podemos ver que todos os sinais nesta expressão são exatamente opostos aos da expressão original. Isso significa que essa expressão é equivalente à expressão original, pois podemos simplesmente multiplicar a expressão inteira por -1 para obter a expressão original.
Exercícios de gráficos com simetria
Na descrição dos gráficos a seguir é mostrado se existe alguma simetria e é indicado se o gráfico representa uma função.
O gráfico a seguir é simétrico em relação ao seu eixo, ou seja, é simétrico em relação à reta x=2. Não há outra simetria. O gráfico representa uma função.
O gráfico abaixo é simétrico em relação ao eixo x e ao eixo y. Este gráfico também é simétrico em relação à origem. Como o gráfico não passa no teste de linha vertical, ou seja, uma linha vertical pode ser desenhada que passa por mais de um ponto no gráfico, então o gráfico não representa uma função.
Este gráfico é simétrico em relação às retas x=1 e y=1. Como uma linha vertical pode ser desenhada passando por mais de um ponto no gráfico, o gráfico não representa uma função.
O gráfico abaixo representa uma função cúbica simétrica em relação ao ponto (1, -2). Este gráfico representa uma função.
Na descrição dos gráficos a seguir é mostrado se a função é par, ímpar ou nenhuma.
A parábola a seguir tem o vértice no eixo y, portanto, o eixo de simetria é o eixo y. Isso significa que a função é par.
A seguinte função cúbica está centrada na origem e se a girarmos 180 °, obteremos o mesmo gráfico. Isso significa que a função é ímpar.
A seguinte função cúbica é centralizada no ponto (0, -2). Esta função é simétrica, mas não em relação à origem ou ao eixo y. Portanto, essa função não é par nem ímpar.
Exercícios de simetria de funções resolvidos
EXERCÍCIO 1
Determine se a função $latex f(x)=2{{x}^2}+5$ é simétrica.
Solução
Teste 1: Começamos verificando se a função é simétrica em relação ao eixo y. Isso significa que temos que substituir todos as x com –x:
$latex f(-x)={{(-x)}^2}+5$
$latex ={{x}^2}+5$
Depois de simplificar, obtivemos exatamente a mesma função de $latex f(x)$, o que significa que ambos são equivalentes. Portanto, esta equação é simétrica em relação ao eixo y.
Teste 2: Agora, verificamos a simetria em relação à origem. Isso requer que substituamos x por –x e $latex f(x)$ por $latex -f(-x)$.
$latex -f(-x)={{(-x)}^2}+5$
$latex -f(-x)={{x}^2}+5$
Nesse caso, o lado direito da função é idêntico ao original, mas o lado esquerdo é diferente, pois temos um sinal de menos na frente dele.
EXERCÍCIO 2
Determine se a função $latex f(x) = {{x}^3}+5x$ tem algum tipo de simetria.
Solução
Teste 1: Para determinar se a função é simétrica em relação ao eixo y, temos que substituir todas as x por –x:
$latex f(-x)={{(-x)}^3}+5(-x)$
$latex =-{{x}^3}-5x$
Vemos que obtivemos uma expressão diferente da função original do lado direito. Isso significa que a função não é simétrica em relação ao eixo y.
Teste 2: Para verificar se a função é simétrica em relação à origem, temos que mudar tanto x com –x quanto $latex f(x)$ com $latex -f(-x)$.
$latex -f(-x)={{(-x)}^3}+5(-x)$
$latex -f(-x)=-{{x}^3}-5x$
$latex f(-x)={{x}^3}+5x$
Vemos que recebemos sinais negativos de ambos os lados. Multiplicando ambos os lados por -1, obtemos a função original. Isso significa que a própria função é simétrica em relação à origem.
EXERCÍCIO 3
A função $latex f(x)={{x}^4}+2{{x}^3}+2x$ tem algum tipo de simetria?
Solução
Teste 1: Procuramos simetria em relação ao eixo y substituindo todas as x com –x:
$$f(-x)={{(-x)}^4}+2{{(-x)}^3}+2(-x)$$
$latex ={{x}^4}-2{{x}^3}-2x$
Depois de simplificar, obtivemos uma expressão diferente da função original, $latex f(x)$. Portanto, esta equação não tem simetria em relação ao eixo y.
Teste 2: BUsamos simetria em relação à origem, substituindo ambos x por –x e $latex f(x)$ por $latex -f(-x)$.
$$-f(-x)={{(-x)}^4}+2{{(-x)}^3}+2(-x)$$
$latex -f(-x)={{x}^4}-2{{x}^3}-2x$
$latex f(-x)=-{{x}^4}+2{{x}^3}+2x$
Se multiplicarmos ambos os lados da função por -1, não obtemos a função original, portanto, esta função não tem simetria em relação à origem.
EXERCÍCIO 4
Determine se a função $latex f(x)=3{{x}^4}-2{{x}^2}+4$ tem algum tipo de simetria.
Solução
Teste 1: Começamos procurando simetria em relação ao eixo y. Isso significa que temos que substituir todas as x com –x:
$$f(-x)=3{{(-x)}^4}-2{{(-x)}^2}+4$$
$latex =3{{x}^4}-2{{x}^2}+4$
Temos exatamente a mesma função que $latex f(x)$. Portanto, a função tem simetria em relação ao eixo y.
Teste 2: Agora, procuramos simetria em relação à origem. Precisamos substituir ambos x por –x e $latex f(x)$ por $latex -f(-x)$.
$$-f(-x)=3{{(-x)}^4}-2{{(-x)}^2}+4$$
$latex -f(-x)=3{{x}^4}-2{{x}^2}+4$
$latex f(-x)=-3{{x}^4}+2{{x}^2}-4$
Depois de multiplicar por -1, não obtivemos a função original. Portanto, a função não é simétrica em relação à origem.
EXERCÍCIO 5
A função $latex f(x)={{x}^3}+{{x}^2}+x+1$ simétrica em relação ao eixo y ou a origem?
Solução
Teste 1: Verificamos a simetria em relação ao eixo y substituindo todas as x com –x:
$$f(-x)={{(-x)}^3}+{{(-x)}^2}+(-x)+1$$
$latex =-{{x}^3}+{{x}^2}-x+5$
Vemos que não obtivemos a mesma função que a função original, $latex f(x)$, o que significa que a função não é simétrica em relação ao eixo y.
Teste 2: Podemos verificar se a função tem simetria em relação ao original, substituindo ambos x por –x e $latex f(x)$ por $latex -f(-x)$.
$$-f(-x)={{(-x)}^3}+{{(-x)}^2}+(-x)+1$$
$latex -f(-x)=-{{x}^3}+{{x}^2}-x+5$
$latex f(-x)={{x}^3}-{{x}^2}+x-5$
Após simplificar e multiplicar a função por -1, não obtivemos a função original, o que significa que ela não é simétrica em relação à origem. Esta função não possui nenhum tipo de simetria. Isso não é incomum, pois a maioria das funções não tem nenhum tipo de simetria.
EXERCÍCIO 6
Determine se a função $latex f(x)=3{{x}^5}-4{{x}^3}+2x+4$ tem algum tipo de simetria.
Solução
Teste 1: Substituímos todas as x por –x para procurar simetria em relação ao eixo y:
$$ f(-x)=3{{(-x)}^5}-4{{(-x)}^3}+2(-x)+4$$
$latex =-3{{x}^5}+4{{x}^3}-2x+4$
Após simplificar, não obtivemos a função original, o que significa que ambas não são equivalentes e não há simetria em relação ao eixo y.
Teste 2: Substituímos x por –x e $latex f(x)$ por $latex -f(-x)$ procurar simetria em relação à origem:
$$-f(-x)=3{{(-x)}^5}-4{{(-x)}^3}+2(-x)+4$$
$$-f(-x)=-3{{x}^5}+4{{x}^3}-2x+4$$
$latex f(-x)=3{{x}^5}-4{{x}^3}+2x-4$
Não obtivemos exatamente a função original, então a função não é simétrica em relação à origem.
Exercícios de simetria de funções para resolver
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
