Adicionar e subtrair frações algébricas – Passo a passo

Temos uma soma de frações homogêneas. Assim, podemos escrevê-las usando um único denominador da seguinte forma:

$$\frac{3x+2}{5}+\frac{x}{5}=\frac{3x+2+x}{5}$$

Agora, combinamos termos semelhantes no numerador:

$$\frac{3x+2+x}{5}=\frac{4x+2}{5}$$

A fração não pode mais ser simplificada, então $latex \frac{4x+2}{5}$ é o nosso resultado.

Neste caso, temos uma subtração de frações homogêneas, então podemos combiná-las para formar uma única fração:

$$\frac{4x+1}{x+2}-\frac{3-2x}{x+2}=\frac{4x+1-(3-2x)}{x+2}$$

$$=\frac{4x+1-3+2x}{x+2}$$

Combinando termos semelhantes no numerador, temos:

$$\frac{4x+1-3+2x}{x+2}=\frac{6x-2}{x+2}$$

Podemos simplificar o numerador: $latex \frac{2(3x-1)}{x+2}$ e este é o nosso resultado.

Neste caso, temos uma soma de frações heterogêneas. Então, temos que começar encontrando o menor denominador comum.

O menor denominador comum é $latex (x-1)(x+3)$, pois pode ser dividido por ambos os denominadores sem deixar resto.

Então, formamos frações homogêneas dividindo o mdc por cada denominador e multiplicando pelo numerador. Então temos:

$$\frac{3}{x-1}+\frac{2}{x+3}=\frac{3(x+3)}{(x-1)(x+3)}+\frac{2(x-1)}{(x-1)(x+3)}$$

Combinando as frações homogêneas e realizando as operações do numerador, temos:

$$=\frac{3(x+3)+2(x-1)}{(x-1)(x+3)}$$

$$=\frac{3x+9+2x-2}{(x-1)(x+3)}$$

$$=\frac{5x+7}{(x-1)(x+3)}$$

Não podemos mais simplificar a fração. Assim, $latex \frac{5x+7}{(x-1)(x+3)}$ é o nosso resultado.

Como temos uma subtração de frações heterogêneas, começamos encontrando o menor denominador comum.

Nesse caso, o menor denominador comum é $latex (x+6)(x+7)$. Então, formamos como frações usando esse denominador:

$$\frac{4}{x+6}-\frac{2}{x+7}=\frac{4(x+7)}{(x+6)(x+7)}-\frac{2(x+6)}{(x+6)(x+7)}$$

Agora, podemos formar uma única fração e simplificar o numerador:

$$=\frac{4(x+7)-2(x+6)}{(x+6)(x+7)}$$

$$=\frac{4x+28-2x-12}{(x+6)(x+7)}$$

$$=\frac{2x+16}{(x+6)(x+7)}$$

$$=\frac{2(x+8)}{(x+6)(x+7)}$$

Para encontrar o menor denominador comum, podemos começar reconhecendo que:

$$x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$$

Isso significa que $latex (x+1)$ é um fator de $latex x^2+3x+2$ e $latex (x+1)(x+2)$ é o menor denominador comum. Então temos:

$$\frac{2x}{x^2+3x+2}+\frac{3}{x+1}=\frac{2x}{(x+1)(x+2)}+\frac{3(x+2)}{(x+1)(x+2)}$$

Combinando as frações homogêneas e realizando as operações do numerador, temos:

$$=\frac{2x+3(x+2)}{(x+1)(x+2)}$$

$$=\frac{2x+3x+6}{(x+1)(x+2)}$$

$$=\frac{5x+6}{(x+1)(x+2)}$$

Podemos escrever essa expressão da seguinte forma:

$$\frac{x+7}{1}+\frac{1}{x-4}-\frac{5}{x+1}$$

Assim, o menor denominador comum é $latex (x-4)(x+1)$ e temos o seguinte:

Então, formamos frações homogêneas dividindo o mdc por cada denominador e multiplicando pelo numerador. Então temos:

$$\frac{x+7}{1}+\frac{1}{x-4}-\frac{5}{x+1}$$

$$=\frac{(x+7)(x-4)(x+1)+(x+1)-5(x-4)}{(x-4)(x+1)}$$

$$=\frac{x^3+4x^2-25x-28+x+1-5x+20}{(x-4)(x+1)}$$

$$=\frac{x^3+4x^2-29x-7}{(x-4)(x+1)}$$