A multiplicação escalar de matrizes é uma operação essencial da álgebra linear e é usada em vários campos. Para resolver a multiplicação de uma matriz por um escalar, basta multiplicar cada entrada ou elemento da matriz pelo escalar.
Neste artigo, exploraremos o conceito de multiplicação escalar e como ele funciona. Também resolveremos vários exercícios para aplicar os conceitos aprendidos.
ÁLGEBRA LINEAR
Relevante para…
Aprender sobre multiplicação de matrizes por um escalar.
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Como multiplicar matrizes por um escalar?
Para multiplicar uma matriz por um escalar, basta multiplicar cada elemento da matriz pelo escalar.
A seguir está a fórmula geral para multiplicação escalar de uma matriz:
Dado um escalar “k” e uma matriz A “m x n”, a multiplicação escalar de $latex A$ por $latex k$ é definida como:
$$ k \times A = [k \times a_{ij}]$$
onde $latex i = 1,~2,~…,~m$ e $latex j = 1,~2,~…,~n$
Em outras palavras, cada elemento $latex a_{ij}$ da matriz $latex A$ é multiplicado pelo escalar $latex k$, resultando em uma nova matriz com as mesmas dimensões de A.
Vejamos um exemplo para entender melhor esse conceito:
Suponha que temos a matriz $latex A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}$ e queremos multiplicá-la pelo escalar $latex k = 2$. A matriz resultante será:
$$k \times A = 2 \times \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}$$
$$ = \begin{bmatrix} 2\times 2 & 2\times 3 \\ 2\times 4 & 2\times 5\end{bmatrix}$$
$$ = \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 8 & 10 \end{bmatrix}$$
Exercícios resolvidos sobre multiplicação de matrizes por um escalar
EXERCÍCIO 1
Encontre o resultado da multiplicação da seguinte matriz 2×2 por $latex k=4$:
$$A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 7 & 2 \end{pmatrix}$$
Solução
Para multiplicar uma matriz por um escalar, multiplicamos cada elemento da matriz pelo escalar.
Dada a matriz $latex A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 7 & 2 \end{pmatrix}$ e o escalar $latex k=4$, realizamos as seguintes operações:
- Multiplicamos o primeiro elemento (canto superior esquerdo) da matriz por $latex k$: $latex 3 \times 4 = 12$.
- Multiplicamos o segundo elemento (canto superior direito) da matriz por $latex k$: $latex 5 \times 4 = 20$.
- Multiplicamos o terceiro elemento (canto inferior esquerdo) da matriz por $latex k$: $latex 7 \times 4 = 28$.
- Multiplicamos o quarto elemento (canto inferior direito) da matriz por $latex k$: $latex 2 \times 4 = 8$.
Agora podemos construir a matriz resultante colocando os resultados dessas multiplicações em suas respectivas posições:
$$A’ = \begin{pmatrix} 12 & 20 \\ 28 & 8 \end{pmatrix}$$
EXERCÍCIO 2
Multiplique a matriz B pelo escalar $latex m=2$:
$$B = \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$$
Solução
No exercício anterior vimos como resolver passo a passo este tipo de multiplicação. Agora, vamos simplificar esse processo.
Distribuímos a multiplicação escalar multiplicando cada elemento da matriz por $latex m$:
$$2 \times \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$$
$$= \begin{pmatrix} 2\times6 & 2\times(-3) \\ 2\times1 & 2\times4 \end{pmatrix}$$
$$= \begin{pmatrix} 12 & -6 \\ 2 & 8 \end{pmatrix}$$
EXERCÍCIO 3
Encontre o resultado da multiplicação da seguinte matriz pelo escalar $latex n=-3$:
$$C = \begin{pmatrix} 0 & 9 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$$
Solução
Realizamos a multiplicação escalar multiplicando cada elemento da matriz por $latex n$:
$$-3 \times \begin{pmatrix} 0 & 9 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$$
$$ = \begin{pmatrix} -3\times0 & -3\times9 \\ -3\times(-5) & -3\times3 \end{pmatrix}$$
$$ = \begin{pmatrix} 0 & -27 \\ 15 & -9 \end{pmatrix}$$
EXERCÍCIO 4
Se multiplicarmos a seguinte matriz pelo escalar $latex p=3$, qual é o resultado?
$$D = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 7 \end{pmatrix}$$
Solução
Neste caso, temos uma matriz 3×3, mas o processo para resolver a multiplicação é o mesmo. Só temos que distribuir a multiplicação para cada elemento:
$$3 \times \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 7 \end{pmatrix}$$
$$ = \begin{pmatrix} 3\times2 & 3\times4 & 3\times6 \\ 3\times1 & 3\times3 & 3\times5 \\ 3\times0 & 3\times1 & 3\times7 \end{pmatrix}$$
$$ = \begin{pmatrix} 6 & 12 & 18 \\ 3 & 9 & 15 \\ 0 & 3 & 21 \end{pmatrix}$$
EXERCÍCIO 5
Multiplique a matriz 3×3 pelo escalar $latex q=-2$:
$$E = \begin{pmatrix} -2 & 5 & 1 \\ 0 & 3 & 6 \\ 8 & -4 & 2 \end{pmatrix}$$
Solução
Multiplicamos cada elemento da matriz E pelo escalar $latex q=-2$:
$$-2 \times \begin{pmatrix} -2 & 5 & 1 \\ 0 & 3 & 6 \\ 8 & -4 & 2 \end{pmatrix}$$
$$ = \begin{pmatrix} -2\times(-2) & -2\times5 & -2\times1 \\ -2\times0 & -2\times3 & -2\times6 \\ -2\times8 & -2\times(-4) & -2\times2 \end{pmatrix}$$
$$ = \begin{pmatrix} 4 & -10 & -2 \\ 0 & -6 & -12 \\ -16 & 8 & -4 \end{pmatrix}$$
EXERCÍCIO 6
Multiplique a matriz F pelo escalar $latex r=0,5$:
$$F = \begin{pmatrix} 9 & 6 & 3 \\ 5 & 7 & 1 \\ 4 & 8 & 2 \end{pmatrix}$$
Solução
Distribuindo a multiplicação do escalar $latex r=0,5$ para cada elemento da matriz F, temos:
$$0,5 \times \begin{pmatrix} 9 & 6 & 3 \\ 5 & 7 & 1 \\ 4 & 8 & 2 \end{pmatrix}$$
$$ = \begin{pmatrix} 0,5\times9 & 0,5\times6 & 0,5\times3 \\ 0,5\times5 & 0,5\times7 & 0,5\times1 \\ 0,5\times4 & 0,5\times8 & 0,5\times2 \end{pmatrix}$$
$$ = \begin{pmatrix} 4,5 & 3 & 1,5 \\ 2,5 & 3,5 & 0,5 \\ 2 & 4 & 1 \end{pmatrix}$$
EXERCÍCIO 7
Multiplique a matriz G pelo escalar $latex s=2$ e depois adicione a matriz H:
$$G = \begin{pmatrix} 2 & 7 & 4 \\ 3 & 1 & 5 \\ 6 & 2 & 9 \end{pmatrix}$$
$$H = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 4 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$
Solução
Primeiro, multiplicamos a matriz G pelo escalar $latex s=2$:
$$2 \times \begin{pmatrix} 2 & 7 & 4 \\ 3 & 1 & 5 \\ 6 & 2 & 9 \end{pmatrix}$$
$$ = \begin{pmatrix} 2\times2 & 2\times7 & 2\times4 \\ 2\times3 & 2\times1 & 2\times5 \\ 2\times6 & 2\times2 & 2\times9 \end{pmatrix}$$
$$ = \begin{pmatrix} 4 & 14 & 8 \\ 6 & 2 & 10 \\ 12 & 4 & 18 \end{pmatrix}$$
Agora adicionamos a matriz resultante à matriz $latex H$:
$$\begin{pmatrix} 4 & 14 & 8 \\ 6 & 2 & 10 \\ 12 & 4 & 18 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 4 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$
$$ = \begin{pmatrix} 4+1 & 14+3 & 8+2 \\ 6+0 & 2+1 & 10+4 \\ 12+3 & 4+0 & 18+2 \end{pmatrix}$$
$$ = \begin{pmatrix} 5 & 17 & 10 \\ 6 & 3 & 14 \\ 15 & 4 & 20 \end{pmatrix}$$
EXERCÍCIO 8
Encontre o resultado da subtração $latex I-J$ e então multiplique a matriz resultante pelo escalar $latex t=-1$:
$$I = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 3 \\ 1 & 6 & 2 \\ 7 & 3 & 1 \end{pmatrix}$$
$$ J = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$
Solução
Subtraindo a matriz $latex J$ da matriz $latex I$, temos:
$$\begin{pmatrix} 5 & 8 & 3 \\ 1 & 6 & 2 \\ 7 & 3 & 1 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$
$$ = \begin{pmatrix} 5-2 & 8-4 & 3-1 \\ 1-1 & 6-2 & 2-0 \\ 7-3 & 3-1 & 1-1 \end{pmatrix}$$
$$ = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 2 \\ 0 & 4 & 2 \\ 4 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$
Agora, multiplicamos a matriz resultante pelo escalar $latex t=-1$:
$$-1 \times \begin{pmatrix} 3 & 4 & 2 \\ 0 & 4 & 2 \\ 4 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$
$$ = \begin{pmatrix} -1\times3 & -1\times4 & -1\times2 \\ -1\times0 & -1\times4 & -1\times2 \\ -1\times4 & -1\times2 & -1\times0 \end{pmatrix}$$
$$ = \begin{pmatrix} -3 & -4 & -2 \\ 0 & -4 & -2 \\ -4 & -2 & 0 \end{pmatrix}$$
Exercícios de multiplicação de matrizes 2×2 por um escalar para resolver
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Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
