Multiplicação de Matrizes 2×2 – Exercícios Resolvidos

Suponha que nosso produto seja a matriz M = A×B.

Podemos encontrar o termo $latex m_{11}$ multiplicando a primeira linha da matriz A pela primeira coluna da matriz B. Então, temos:

$latex m_{11}=2 \times 5 + 1 \times 7$

Para o termo $latex m_{12}$, multiplicamos a primeira linha da matriz A pela segunda coluna da matriz B:

$latex m_{12}=2 \times 6 + 1 \times 8$

O termo $latex m_{21}$ é encontrado multiplicando a segunda linha da matriz A pela primeira coluna da matriz B:

$latex m_{21}=3 \times 5 + 4 \times 7$

E o termo $latex m_{22}$ é encontrado multiplicando a segunda linha da matriz A pela segunda coluna da matriz B:

$latex m_{22}=3 \times 6 + 4 \times 8$

Então temos:

$$M=\begin{bmatrix} 2 \times 5 + 1 \times 7 & 2 \times 6 + 1 \times 8 \\ 3 \times 5 + 4 \times 7 & 3 \times 6 + 4 \times 8 \end{bmatrix}$$

$$M=\begin{bmatrix} 17 & 22 \\ 38 & 53 \end{bmatrix}$$

Agora que sabemos calcular cada termo da matriz resultante da multiplicação, podemos simplesmente escrever assim:

$$M=\begin{bmatrix} 5 \times 2 + 6 \times 3 & 5 \times 1 + 6 \times 4 \\ 7 \times 2 + 8 \times 3 & 7 \times 1 + 8 \times 4 \end{bmatrix}$$

$$M=\begin{bmatrix} 28 & 29 \\ 46 & 51 \end{bmatrix}$$

Podemos ver comparando os exercícios 1 e 2 que a multiplicação A×B não é igual à multiplicação B×A. Ou seja, a ordem importa.

Realizamos as operações para encontrar cada elemento da matriz resultante:

$$M=\begin{bmatrix} -1 \times 0 + 3 \times -2 & -1 \times 5 + 3 \times 1 \\ 4 \times 0 + 2 \times -2 & 4 \times 5 + 2 \times 1 \end{bmatrix}$$

Simplificando isso, temos:

$$M=\begin{bmatrix} -6 & -2 \\ -4 & 22 \end{bmatrix}$$

Multiplicamos as linhas da primeira matriz pelas colunas correspondentes da segunda matriz:

$$M=\begin{bmatrix} 2 \times 0 + (-3) \times 2 & 2 \times 4 + (-3) \times 1 \\ 5 \times 0 + 1 \times 2 & 5 \times 4 + 1 \times 1 \end{bmatrix}$$

Agora simplificamos as operações e temos:

$$M=\begin{bmatrix} -6 & 5 \\ 2 & 21 \end{bmatrix}$$

Para encontrar cada elemento da matriz resultante, escrevemos o seguinte:

$$M=\begin{bmatrix} 2 \times 0 + 1 \times -2 & 2 \times 4 + 1 \times 3 \\ 3 \times 0 + (-1) \times -2 & 3 \times 4 + (-1) \times 3 \end{bmatrix}$$

Agora, apenas simplificamos:

$$M=\begin{bmatrix} -2 & 11 \\ 2 & 9 \end{bmatrix}$$

Multiplicamos as linhas da primeira matriz pelas colunas correspondentes da segunda matriz:

$$M=\begin{bmatrix} 4 \times 0 + (-1) \times 1 & 4 \times 2 + (-1) \times 5 \\ 2 \times 0 + 3 \times 1 & 2 \times 2 + 3 \times 5 \end{bmatrix}$$

Simplificando, ficamos com:

$$M=\begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 3 & 16 \end{bmatrix}$$

Encontramos cada termo da nova matriz da seguinte maneira:

$$M=\begin{bmatrix} 1 \times 0 + (-2) \times 2 & 1 \times 1 + (-2) \times 4 \\ 3 \times 0 + 0 \times 2 & 3 \times 1 + 0 \times 4 \end{bmatrix}$$

E a matriz do produto é:

$$M=\begin{bmatrix} -4 & -7 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$$

Para encontrar cada elemento da matriz resultante, temos:

$$M=\begin{bmatrix} 3 \times 1 + (-1) \times 0 & 3 \times 2 + (-1) \times (-3) \\ -2 \times 1 + 5 \times 0 & -2 \times 2 + 5 \times (-3) \end{bmatrix}$$

E simplificando:

$$M=\begin{bmatrix} 3 & 9 \\ -2 & -13 \end{bmatrix}$$

Para encontrar o valor de $latex a$, podemos formar uma equação com o processo necessário para obter o elemento $latex m_{11}$ da matriz resultante.

Ou seja, temos:

$latex m_{11}=2 \times a + 1 \times 2$

$latex 10=2 \times a + 1 \times 2$

Resolvendo para $latex a$:

$latex 10=2a+2$

$latex 2a=8$

$latex a=4$

Agora, formamos uma equação com o processo necessário para encontrar $latex m_{22}$:

$latex m_{22}=1 \times 0 + b \times 1$

$latex 3=b$

Formamos uma equação para $latex m_{12}$:

$latex m_{12}=2 \times 1 + p \times -3$

$latex -7=2 + -3p$

Resolvendo para $latex p$:

$latex -3p=-9$

$latex p=3$

Agora, formamos uma equação para $latex m_{21}$:

$latex m_{21}=-1 \times 5 + 4 \times q$

$latex 3=-5 + 4q$

$latex 4q=8$

$latex q=2$