A multiplicação de matrizes 3×3 é uma operação com muitas aplicações em física, engenharia e outros campos. Cada elemento da matriz resultante é encontrado multiplicando cada linha da primeira matriz pelas colunas correspondentes da segunda matriz e somando os produtos.
Neste artigo, aprenderemos como resolver a multiplicação de matrizes 3×3. Começaremos com um processo passo a passo para multiplicar duas matrizes 3×3. A seguir, resolveremos vários exercícios para aplicar este processo.
ÁLGEBRA LINEAR
Relevante para…
Aprender sobre multiplicação de matrizes 3×3 com exercícios.
ÁLGEBRA LINEAR
Relevante para…
Aprender sobre multiplicação de matrizes 3×3 com exercícios.
Como multiplicar matrizes 3×3?
Os elementos do produto de duas matrizes 3×3 são encontrados multiplicando os elementos de cada linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes de cada coluna da segunda matriz.
Os passos seguintes são um guia sobre como multiplicar matrizes 3×3:
Passo 1: Escrevemos nas matrizes da seguinte maneira:
$$A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$$
$$B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{pmatrix}$$
Passo 2: Começando pela primeira linha da primeira matriz, multiplique cada elemento pelo elemento correspondente na primeira coluna da segunda matriz e some os produtos.
Desta forma obteremos o primeiro elemento da matriz produto:
$$c_{11} = a_{11} \times b_{11} + a_{12} \times b_{21} + a_{13} \times b_{31}$$
Passo 3: Repita o passo 2 para os restantes elementos da primeira linha da primeira matriz e as colunas restantes da segunda matriz. Desta forma obteremos a primeira linha da matriz produto:
$$c_{11} = a_{11} \times b_{11} + a_{12} \times b_{21} + a_{13} \times b_{31}$$
$$c_{12} =a_{11} \times b_{12} + a_{12} \times b_{22} + a_{13} \times b_{32}$$
$$ c_{13}=a_{11} \times b_{13} + a_{12} \times b_{23} + a_{13} \times b_{33}$$
Passo 4: Repita os passos 2 e 3 para as linhas restantes da primeira matriz, usando cada linha para produzir uma linha correspondente na matriz produto.
A matriz resultante é o produto das duas matrizes 3×3.
$$\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} \end{pmatrix}$$
Nota: A multiplicação de matrizes não é comutativa, o que significa que a ordem das matrizes é importante. Ou seja, AxB não é necessariamente igual a BxA.
Exercícios resolvidos de multiplicação de matrizes 3×3
EXERCÍCIO 1
Encontre o produto M que resulta da multiplicação das matrizes A e B:
$$A=\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 3 & 4 & 1 \\ 5 & 2 & 3 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 4 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$$
Solução
A matriz M é o resultado da multiplicação A x B.
O termo $latex m_{11}$ é encontrado multiplicando os elementos da primeira linha da matriz A pelos elementos da primeira coluna da matriz B. Então, temos:
$latex m_{11}=2 \times 1 + 1 \times 4+3 \times 3$
$latex m_{11}=2 + 4+9=15$
Para o termo $latex m_{12}$, multiplicamos os elementos da primeira linha da matriz A pelos elementos da segunda coluna da matriz B:
$latex m_{12}=2 \times 2 + 1 \times 1+3 \times 2$
$latex m_{12}=4 + 1+6=11$
O termo $latex m_{13}$ é encontrado tomando a primeira linha da matriz A e a terceira coluna da matriz B:
$latex m_{13}=2 \times 0 + 1 \times 2+3 \times 1$
$latex m_{13}= 0 + 2+3=5$
O termo $latex m_{21}$ é encontrado tomando a segunda linha da matriz A e a primeira coluna da matriz B:
$latex m_{21}=3 \times 1 + 4 \times 4+1 \times 3$
$latex m_{21}=3 + 16+ 3=22$
Para o termo $latex m_{22}$, multiplicamos os elementos da segunda linha da matriz A pelos elementos correspondentes da segunda coluna da matriz B:
$latex m_{22}=3 \times 2 + 4 \times 1+1 \times 2$
$latex m_{22}=6 + 4+ 2=12$
Para o termo $latex m_{23}$ pegamos a segunda linha da matriz A e a terceira coluna da matriz B:
$latex m_{23}=3 \times 0 + 4 \times 2+1 \times 1$
$latex m_{21}=0 + 8+ 1=9$
Para o termo $latex m_{31}$ pegamos a terceira linha da matriz A e a primeira coluna da matriz B:
$latex m_{31}=5 \times 1 + 2 \times 4+3 \times 3$
$latex m_{31}=5 + 8+ 9=22$
O termo $latex m_{32}$ é encontrado com a terceira linha da matriz A e a segunda coluna da matriz B:
$latex m_{32}=5 \times 2 + 2 \times 1+3 \times 2$
$latex m_{32}=10 + 2+ 6=18$
O termo $latex m_{33}$ é encontrado com a terceira linha da matriz A e a terceira coluna da matriz B:
$latex m_{33}=5 \times 0 + 2 \times 2+3 \times 1$
$latex m_{33}=0 + 4+ 3=7$
Então, temos:
$$M=\begin{bmatrix} 15 & 11 & 5 \\ 22 & 12 & 9 \\22 & 18 & 7 \end{bmatrix}$$
EXERCÍCIO 2
Encontre o produto da multiplicação B×A.
$$A=\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 3 & 4 & 1 \\ 5 & 2 & 3 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 4 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$$
Solução
A multiplicação de matrizes pode ser escrita da seguinte forma para simplificar o processo:
$$M=\begin{bmatrix} (1\times 2)+(2\times 3)+(0\times 5) & (1\times 1)+(2\times 4)+(0\times 2) & (1\times 3)+(2\times 1)+(0\times 3) \\ (4\times 2)+(1\times 3)+(2\times 5) & (4\times 1)+(1\times 4)+(2\times 2) & (4\times 3)+(1\times 1)+(2\times 3) \\ (3\times 2)+(2\times 3)+(1\times 5) & (3\times 1)+(2\times 4)+(1\times 2) & (3\times 3)+(2\times 1)+(1\times 3) \end{bmatrix}$$
$$M=\begin{bmatrix}8 & 9 & 5 \\21& 12 & 19 \\17 & 13 & 14\end{bmatrix}$$
Comparando os exercícios 1 e 2, vemos que a multiplicação A×B não é igual à multiplicação B×A. A ordem é importante ao multiplicar matrizes.
EXERCÍCIO 3
Resolva a multiplicação A×B usando as seguintes matrizes:
$$A=\begin{bmatrix} -2 & 3 & 4 \\ 2 & -3 & 5 \\ 0 & 3 & -4 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} 4 & 2 & -2 \\ 1 & 4 & 3 \\ 2 & 5 & 3 \end{bmatrix}$$
Solução
Encontramos cada elemento da matriz resultante realizando as operações necessárias:
$$M=\begin{bmatrix} (-2\times 4)+(3\times 1)+(4\times 2) & (-2\times 2)+(3\times 4)+(4\times 5) & (-2\times -2)+(3\times 3)+(4\times 3) \\ (2\times 4)+(-3\times 1)+(5\times 2) & (2\times 2)+(-3\times 4)+(5\times 5) & (2\times -2)+(-3\times 3)+(5\times 3) \\ (0\times 4)+(3\times 1)+(-4\times 2) & (0\times 2)+(3\times 4)+(-4\times 5) & (0\times -2)+(3\times 3)+(-4\times 3) \end{bmatrix}$$
Simplificando isso, temos:
$$M=\begin{bmatrix} 3 & 28 & 25 \\ 15 & 17 & 2 \\ -5 & -8 & -3 \end{bmatrix}$$
EXERCÍCIO 4
Encontre a matriz M que é igual a A×B.
$$A=\begin{bmatrix} 3 & -2 & -1 \\ 3 & -3 & 2 \\ 2 & 1 & -5 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} -2 & 3 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \end{bmatrix}$$
Solução
Podemos encontrar cada elemento da matriz M multiplicando os elementos de cada linha da matriz A pelos elementos correspondentes de cada coluna da matriz B:
$$M=\begin{bmatrix} (3\times -2)+(-2\times 3)+(-1\times 1) & (3\times 3)+(-2\times 2)+(-1\times 2) & (3\times 0)+(-2\times 1)+(-1\times -2) \\ (3\times -2)+(-3\times 3)+(2\times 1) & (3\times 3)+(-3\times 2)+(2\times 2) & (3\times 1)+(-3\times 2)+(2\times -2) \\ (2\times -2)+(1\times 3)+(-5\times 1) & (2\times 2)+(1\times 2)+(-5\times 2) & (2\times 0)+(1\times 1)+(-5\times -2) \end{bmatrix}$$
Agora simplificamos as operações e temos:
$$M=\begin{bmatrix} -13 & 3 & 0 \\ -13 & 7 & -7 \\ -6 & -2 & 11 \end{bmatrix}$$
EXERCÍCIO 5
Multiplique as seguintes matrizes para encontrar o produto A×B:
$$A=\begin{bmatrix} 5 & -3 & -4 \\ 1 & -2 & -2 \\ 3 & -4 & -3 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} 3 & -4 & 1 \\ 0 & -3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 \end{bmatrix}$$
Solução
Realizamos as seguintes operações para encontrar os elementos da matriz resultante:
$$M=\begin{bmatrix} (5\times 3)+(-3\times 0)+(-4\times 3) & (5\times -4)+(-3\times -3)+(-4\times -2) & (5\times 1)+(-3\times 2)+(-4\times 5) \\ (1\times 3)+(-2\times 0)+(-2\times 3) & (1\times -4)+(-2\times -3)+(-2\times -2) & (1\times 1)+(-2\times 2)+(-2\times 5) \\ (3\times 3)+(-4\times 0)+(-3\times 3) & (3\times -4)+(-4\times -3)+(-3\times -2) & (3\times 1)+(-4\times 2)+(-3\times 5) \end{bmatrix}$$
Simplificando, temos:
$$M=\begin{bmatrix} 3& -3 & -21 \\ -3 & 6 & -13 \\ 0 & 6 & -20 \end{bmatrix}$$
EXERCÍCIO 6
Encontre o produto A × B:
$$A=\begin{bmatrix} 2 & 6 & 0 \\ 5 & -7 & -1 \\ 2 & -1 & -4 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} 2 & 0 & -3 \\ 2 & -3 & 5 \\ 6 & -2 & 4 \end{bmatrix}$$
Solução
Encontramos os elementos da matriz resultante da seguinte maneira:
$$M=\begin{bmatrix} (2\times 2)+(6\times 2)+(0\times 6) & (2\times 0)+(6\times -3)+(0\times -2) & (2\times -3)+(6\times 5)+(0\times 4) \\ (5\times 2)+(-7\times 2)+(-1\times 6) & (5\times 0)+(-7\times -3)+(-1\times -2) & (5\times -3)+(-7\times 5)+(-1\times 4) \\ (2\times 2)+(-1\times 2)+(-4\times 6) & (2\times 0)+(-1\times -3)+(-4\times -2) & (2\times -3)+(-1\times 5)+(-4\times 4) \end{bmatrix} $$
Quando resolvemos isso, temos:
$$M=\begin{bmatrix} 16 & -18 & 24 \\ -10 & 23 & -54\\ -22 & 11 & -27 \end{bmatrix}$$
EXERCÍCIO 7
Encontre o produto da multiplicação A×B:
$$A=\begin{bmatrix} 2&5&-7\\-3&-5&6\\0&3&2 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} 5&5&5\\6&-2&-3\\2&-3&-2 \end{bmatrix}$$
Solução
Os elementos da matriz resultante são encontrados da seguinte forma:
$$M=\begin{bmatrix} (2\times 5)+(5\times 6)+(-7\times 2) & (2\times 5)+(5\times -2)+(-7\times -3) & (2\times 5)+(5\times -3)+(-7\times -2) \\ (-3\times 5)+(-5\times 6)+(6\times 2) & (-3\times 5)+(-5\times -2)+(6\times -3) & (-3\times 5)+(-5\times -3)+(6\times -2) \\ (0\times 5)+(3\times 6)+(2\times2) & (0\times 5)+(3\times -2)+(2\times -3) & (0\times 5)+(3\times -3)+(2\times -2) \end{bmatrix}$$
E a matriz do produto é:
$$M=\begin{bmatrix} 26& 21& 9\\-33& -23& -12\\22& -12& -13 \end{bmatrix}$$
EXERCÍCIO 8
Resolva a multiplicação A×B.
$$A=\begin{bmatrix} 4&2&-3\\5&-1&1\\6&7&3 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} 4&-5&6\\3&-3&-3\\4&-4&-4 \end{bmatrix}$$
Solução
Para encontrar cada elemento da matriz resultante, temos:
$$M=\begin{bmatrix} (4\times 4)+(2\times 3)+(-3\times 4) & (4\times -5)+(2\times -3)+(-3\times -4) & (4\times 6)+(2\times -3)+(-3\times -4) \\ (5\times 4)+(-1\times 3)+(1\times 4) & (5\times -5)+(-1\times -3)+(1\times -4) & (5\times 6)+(-1\times -3)+(1\times -4) \\ (6\times 4)+(7\times3)+(3\times 4) & (6\times -5)+(7\times -3)+(3\times -4) & (6\times 6)+(7\times -3)+(3\times -4) \end{bmatrix}$$
E simplificando:
$$M=\begin{bmatrix} 10 & -14 & 30\\21& -26& 29\\57& -63& 3 \end{bmatrix}$$
EXERCÍCIO 9
Encontre o produto da multiplicação de A por B:
$$A=\begin{bmatrix} -5&4&-3\\3&-5&3\\4&2&-1 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} 6&-3&4\\2&-1&2\\5&-3&-3 \end{bmatrix}$$
Solução
Temos o seguinte:
$$M=\begin{bmatrix} (-5\times 6)+(4\times 2)+(-3\times 5) & (-5\times -3)+(4\times -1)+(-3\times -3) & (-5\times 4)+(4\times 2)+(-3\times -3) \\ (3\times 6)+(-5\times 2)+(3\times 5) & (3\times -3)+(-5\times -1)+(3\times -3) & (3\times 4)+(-5\times 2)+(3\times -3) \\ (4\times 6)+(2\times2)+(-1\times 5) & (4\times -3)+(2\times -1)+(-1\times -3) & (4\times 4)+(2\times -3)+(-1\times -3) \end{bmatrix}$$
Simplificando, temos:
$$M=\begin{bmatrix} -37& 20& -3\\23& -13& -7\\23& -11& 23 \end{bmatrix} $$
EXERCÍCIO 10
Encontre o produto A x B das seguintes matrizes:
$$A=\begin{bmatrix} 6&3&-5\\2&5&3\\-3&4&-4 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} 5&-6&7\\3&-4&4\\3&-2&-1 \end{bmatrix}$$
Solução
Temos o seguinte:
$$M=\begin{bmatrix} (6\times 5)+(3\times 3)+(-5\times 3) & (6\times -6)+(3\times -4)+(-5\times -2) & (6\times 7)+(3\times 4)+(-5\times -1) \\ (2\times 5)+(5\times 3)+(3\times 3) & (2\times -6)+(5\times -4)+(3\times -2) & (2\times 7)+(5\times 4)+(3\times -1) \\ (-3\times 5)+(4\times 3)+(-4\times 3) & (-3\times -6)+(4\times -4)+(-4\times -2) & (-3\times 7)+(4\times 4)+(-4\times -1) \end{bmatrix}$$
Então, temos:
$$M=\begin{bmatrix} 24& -38& 59\\34& -38& 31\\-15& 10& -1 \end{bmatrix} $$
Exercícios de multiplicação de matrizes 3×3 para resolver
Escreva a resposta na caixa de entrada.
Veja também
Interessado em aprender mais sobre matrizes? Você pode consultar estas páginas:
Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
