Matrizes 2×3 são matrizes com duas linhas e três colunas. Por outro lado, matrizes 3×2 são matrizes com três linhas e duas colunas. Para multiplicar essas matrizes, multiplicamos os elementos das linhas da primeira matriz pelos elementos das colunas da segunda matriz.
A seguir, conhecemos os passos que podemos seguir para multiplicar matrizes 2×3 e 3×2. Veremos vários exercícios para aplicar esses conceitos.
ÁLGEBRA LINEAR
Relevante para…
Aprender sobre multiplicação de matrizes 2×3 e 3×2 com exercícios.
ÁLGEBRA LINEAR
Relevante para…
Aprender sobre multiplicação de matrizes 2×3 e 3×2 com exercícios.
Como multiplicar matrizes 2×3 por matrizes 3×2?
Para multiplicar uma matriz 2×3 por uma matriz 3×2, o número de colunas da primeira matriz (3) deve corresponder ao número de linhas da segunda matriz (3).
A matriz resultante terá o mesmo número de linhas que a primeira matriz (2) e o mesmo número de colunas que a segunda matriz (2).
Suponha que temos a matriz A, 2×3, e a matriz B, 3×2:
$$A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix}$$
$$B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ b_{31} & b_{32} \end{pmatrix}$$
Para multiplicar este tipo de matrizes e encontrar a matriz C, podemos seguir os seguintes passos:
Passo 1: Multiplicamos a primeira linha da matriz A pela primeira coluna da matriz B para encontrar o elemento $latex c_{11}$:
$$c_{11}=a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31}$$
Passo 2: Multiplicamos a primeira linha da matriz A pela segunda coluna da matriz B para encontrar o elemento $latex c_{12}$:
$$c_{11}=a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + a_{13}b_{32}$$
Passo 3: Repetimos os passos 1 e 2 para a segunda linha da matriz A e temos:
$$C = \begin{bmatrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + a_{13}b_{32}\\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} + a_{23}b_{31} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + a_{23}b_{32} \end{bmatrix}$$
A matriz resultante é o produto das duas matrizes 3×3.
$$\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22}\end{pmatrix}$$
Nota: A multiplicação de matrizes não é comutativa, o que significa que a ordem das matrizes é importante. Ou seja, AxB não é necessariamente igual a BxA.
Exercícios resolvidos sobre multiplicação de matrizes 2×3 e 3×2
EXERCÍCIO 1
Multiplique as matrizes A e B para encontrar o produto M:
$$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} 7 & 8\\9 & 10\\11 & 12\end{bmatrix}$$
Solução
Encontramos o termo $latex m_{11}$ da matriz M multiplicando os elementos da primeira linha da matriz A pelos elementos da primeira coluna da matriz B. Então, temos:
$latex m_{11}=(1)(7) + (2)(9) + (3)(11)$
$latex m_{11}=7 + 18+33=58$
O termo $latex m_{12}$ é encontrado multiplicando os elementos da primeira linha da matriz A pelos elementos da segunda coluna da matriz B:
$latex m_{12}=(1)(8) + (2)(10) + (3)(12)$
$latex m_{12}=8+20+36=64$
Para encontrar o termo $latex m_{21}$, pegamos a segunda linha da matriz A e a primeira coluna da matriz B:
$latex m_{21}=(4)(7) + (5)(9) + (6)(11)$
$latex m_{21}=28 + 45+ 66=139$
Para o termo $latex m_{22}$, multiplicamos os elementos da segunda linha da matriz A pelos elementos correspondentes da segunda coluna da matriz B:
$latex m_{22}=(4)(8) + (5)(10) + (6)(12)$
$latex m_{22}=32 + 50+ 72=154$
Então temos:
$$M=\begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix}$$
EXERCÍCIO 2
Encontre a matriz M resultante da multiplicação AxB:
$$A=\begin{bmatrix} 3&4&-2\\4&2&-2 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} 4&2\\-2&1\\1&2 \end{bmatrix}$$
Solução
Multiplicando os elementos de cada linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes de cada coluna da segunda matriz, temos:
$$M=\begin{bmatrix} (3)(4) + (4)(-2) + (-2)(1) & (3)(2) + (4)(1) + (-2)(2)\\ (4)(4) + (2)(-2) + (-2)(1) & (4)(2) + (2)(1) + (-2)(2) \end{bmatrix}$$
$$M=\begin{bmatrix}2& 6\\10& 6 \end{bmatrix}$$
EXERCÍCIO 3
Encontre o produto da multiplicação A×B:
$$A=\begin{bmatrix} 4&2&-3\\5&4&3 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} -3&-5\\-3&2\\3&2 \end{bmatrix}$$
Solução
Para encontrar os elementos do produto, multiplicamos os elementos das matrizes A e B da seguinte forma:
$$M=\begin{bmatrix} (4)(-3) + (2)(-3) + (-3)(3) & (4)(-5) + (2)(2) + (-3)(2)\\ (5)(-3) + (4)(-3) + (3)(3) & (5)(-5) + (4)(2) + (3)(2) \end{bmatrix}$$
Quando resolvemos essas operações, temos:
$$M=\begin{bmatrix} -27& -22\\-18& -11 \end{bmatrix}$$
EXERCÍCIO 4
Resolva a multiplicação A×B.
$$A=\begin{bmatrix} 1&2&1\\0&8&7 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} 10&5\\-13&-5\\2&1 \end{bmatrix}$$
Solução
Multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da matriz seguinte, obtemos o seguinte:
$$M=\begin{bmatrix} (1)(10) + (2)(-13) + (1)(2) & (1)(5) + (2)(-5) + (1)(1)\\ (0)(10) + (8)(-13) + (7)(2) & (0)(5) + (8)(-5) + (7)(1) \end{bmatrix}$$
Quando simplificamos, temos:
$$M=\begin{bmatrix} -14& -4\\-90& -33 \end{bmatrix}$$
EXERCÍCIO 5
Qual é o resultado da multiplicação de A×B?
$$A=\begin{bmatrix} -3&-4&3\\4&2&8 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} 9& 2\\-3&-4\\5&4 \end{bmatrix}$$
Solução
Formamos uma matriz da seguinte maneira:
$$M=\begin{bmatrix} (-3)(9) + (-4)(-3) + (3)(5) & (-3)(2) + (-4)(-4) + (3)(4)\\ (4)(9) + (2)(-3) + (8)(5) & (4)(2) + (2)(-4) + (8)(4) \end{bmatrix}$$
Simplificando, temos:
$$M=\begin{bmatrix} 0& 22\\70& 32 \end{bmatrix}$$
EXERCÍCIO 6
Encontre o resultado da multiplicação A×B:
$$A=\begin{bmatrix} -6&-7&1\\-2&4&7 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} 7& 5\\-5&-2\\6&4 \end{bmatrix}$$
Solução
Multiplicamos os elementos de cada linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes das colunas da segunda matriz:
$$M=\begin{bmatrix}(-6)(7) + (-7)(-5) + (1)(6) & (-6)(5) + (-7)(-2) + (1)(4) \\ (-2)(7) + (4)(-5) + (7)(6) & (-2)(5) + (4)(-2) + (7)(4) \end{bmatrix} $$
Quando resolvemos isso, temos:
$$M=\begin{bmatrix} -1& -12\\8& 10 \end{bmatrix}$$
EXERCÍCIO 7
Resolva a multiplicação A×B:
$$A=\begin{bmatrix} -4&-5&6\\-3&5&8 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} 5& 6\\-3&-4\\2&5 \end{bmatrix}$$
Solução
Podemos formar a seguinte matriz:
$$M=\begin{bmatrix} (-4)(5) + (-5)(-3) + (6)(2) & (-4)(6) + (-5)(-4) + (6)(5) \\ (-3)(5) + (5)(-3) + (8)(2) & (-3)(6) + (5)(-4) + (8)(5) \end{bmatrix} $$
Simplificando, temos:
$$M=\begin{bmatrix} 7& 26\\-14& 2 \end{bmatrix}$$
Exercícios de multiplicação de matrizes 2×3 e 3×2 para resolver
Escreva a resposta na caixa de entrada.
Veja também
Interessado em aprender mais sobre matrizes? Você pode consultar estas páginas:
Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
