As coordenadas cilíndricas têm a forma (r, θ, z), onde r é a distância no plano xy, θ é o ângulo em relação ao eixo x e z é o componente vertical no eixo z. Semelhante às coordenadas polares, podemos relacionar coordenadas cilíndricas com coordenadas cartesianas usando um triângulo retângulo e trigonometria. Usamos cosseno para encontrar o componente x e seno para encontrar o componente y. O componente em z permanece o mesmo.
A seguir, veremos as fórmulas que podemos aplicar para transformar de coordenadas cilíndricas para coordenadas cartesianas. Em seguida, usaremos essas fórmulas para resolver alguns exercícios práticos.
TRIGONOMETRIA
Relevante para…
Aprender a transformar de coordenadas cilíndricas para coordenadas cartesianas.
TRIGONOMETRIA
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Aprender a transformar de coordenadas cilíndricas para coordenadas cartesianas.
Como transformar de coordenadas cilíndricas para coordenadas cartesianas?
As coordenadas cartesianas tridimensionais são representadas na forma $latex (x, ~y, ~z)$. Um sistema de coordenadas tridimensional alternativo é o sistema de coordenadas cilíndricas. O sistema de coordenadas cilíndricas é uma extensão tridimensional do sistema de coordenadas polares.
As coordenadas polares são estendidas na terceira dimensão de forma semelhante à forma como estendemos as coordenadas cartesianas, ou seja, simplesmente adicionamos z como a terceira dimensão.
Então, as coordenadas cilíndricas têm a forma (r, θ, z), onde r é a distância da origem até a posição do ponto no plano xy, θ é o ângulo em relação ao eixo x, e z é a coordenada no eixo z.
As transformações para x e y são as mesmas usadas para coordenadas polares. Para encontrar o componente x, usamos a função cosseno e, para encontrar o componente y, usamos a função seno.
Além disso, o componente z de coordenadas cilíndricas é o mesmo que o componente z de coordenadas cartesianas.
| $latex x=r~\cos(\theta)$ $latex y=r~\sin(\theta)$ $latex z=z~~~~~$ |
Exercícios resolvidos de coordenadas cilíndricas para cartesianas
As fórmulas de transformação de coordenadas cilíndricas para coordenadas cartesianas são usadas para resolver os exercícios a seguir. Cada exercício tem sua respectiva solução, mas é recomendável que você mesmo tente resolver os exercícios antes de ver a resposta.
EXERCÍCIO 1
Temos o ponto (3, 30°, 6) em coordenadas cilíndricas. Qual é a sua equivalência em coordenadas cartesianas?
Solução
Começamos reconhecendo os valores $latex r=3,~\theta=30^{\circ},~z=6$. Usando esses valores e as fórmulas vistas acima, temos que encontrar os valores de x e y. Então o valor de x é:
$latex x=r~\cos(\theta)$
$latex x=3~\cos(30)$
$latex x=2,6$
O valor de y é:
$latex y=r~\sin(\theta)$
$latex y=3~\sin(30)$
$latex y=1,5$
Sabemos que o componente z permanece o mesmo, então as coordenadas do ponto são (2,6, 1,5, 6).
EXERCÍCIO 2
Quais são as coordenadas cartesianas do ponto (5, 45°, -4)?
Solução
Usamos os valores $latex r=5,~\theta=45^{\circ},~z=-4$ para encontrar os diferentes componentes das coordenadas cartesianas. Começamos com o valor de x:
$latex x=r~\cos(\theta)$
$latex x=5~\cos(45)$
$latex x=3,54$
Agora, encontramos o valor de y:
$latex y=r~\sin(\theta)$
$latex y=5~\sin(45)$
$latex y=3,54$
O componente z é o mesmo, então as coordenadas cartesianas do ponto são (3,54, 3,54, -4).
EXERCÍCIO 3
Temos um ponto com coordenadas cilíndricas (6, 120°, 7). Quais são as coordenadas cartesianas desse ponto?
Solução
Encontramos as coordenadas cartesianas usando os valores $latex r=6,~\theta=120^{\circ},~z=7$ junto com as fórmulas vistas acima. Então o valor de x é:
$latex x=r~\cos(\theta)$
$latex x=6~\cos(120)$
$latex x=-3$
O valor de y é:
$latex y=r~\sin(\theta)$
$latex y=6~\sin(120)$
$latex y=5,2$
A componente z é a mesma, então as coordenadas do ponto são (-3, 5,2, 7).
EXERCÍCIO 4
Temos o ponto (12, 90°, 8) em coordenadas cilíndricas. Qual é a sua equivalência em coordenadas cartesianas?
Solução
Temos os valores $latex r=12,~\theta=90^{\circ},~z=8$. Encontramos o valor de x da seguinte forma:
$latex x=r~\cos(\theta)$
$latex x=12~\cos(90)$
$latex x=0$
Encontramos o valor de y da seguinte forma:
$latex y=r~\sin(\theta)$
$latex y=12~\sin(90)$
$latex y=12$
Sabemos que o componente z permanece o mesmo, então as coordenadas do ponto são (0, 12, 8).
Exercícios de coordenadas cilíndricas a cartesianas para resolver
Use as fórmulas vistas acima para resolver os exercícios a seguir e transformar as coordenadas cilíndricas para coordenadas cartesianas. Selecione uma resposta e verifique-a para ter certeza de que acertou.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
