O volume de uma pirâmide triangular é calculado multiplicando a área da base pela altura da pirâmide e dividindo por 3. Por outro lado, a área de uma pirâmide triangular é igual à soma das áreas de todas as faces da pirâmide.
A seguir, vamos aprender as fórmulas que podemos usar para encontrar o volume e a área das pirâmides triangulares. Além disso, veremos alguns exercícios práticos onde vamos aplicar estas fórmulas.
GEOMETRIA
Relevante para…
Aprender a encontrar o volume e a área da pirâmide triangular.
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Aprender a encontrar o volume e a área da pirâmide triangular.
Como calcular o volume da pirâmide triangular
O volume de qualquer pirâmide é igual à área da base vezes a altura da pirâmide dividida por três. Então, a seguir está a fórmula para o volume de uma pirâmide:
$latex \text{Volume} = \frac{1}{3}\times \text{Área base}\times \text{Altura}$
Por sua vez, sabemos que a base de uma pirâmide triangular é um triângulo e a área de qualquer triângulo é encontrada multiplicando o comprimento de sua base por sua altura e dividindo por dois. Então, temos:
$latex V=\frac{1}{3}(\frac{1}{2}ba)(h)$
| $latex V=\frac{1}{6}bah$ |
onde, b é o comprimento da base do triângulo, a é o comprimento da altura do triângulo e h é a altura da pirâmide.
Como calcular a área da pirâmide triangular
Podemos encontrar a área da superfície das pirâmides triangulares adicionando as áreas de todas as faces da pirâmide. Uma pirâmide com base triangular tem um total de quatro faces, e essas quatro faces são triangulares.
Isso significa que temos que usar a fórmula da área de um triângulo para calcular as áreas das faces. Lembre-se de que a área de qualquer triângulo é encontrada multiplicando a metade do comprimento de sua base pelo comprimento de sua altura.
Portanto, precisamos saber o comprimento da base e a altura de cada uma das faces triangulares.
Vamos considerar o seguinte diagrama:
Se a base for um triângulo equilátero, o que geralmente é o caso, o comprimento de um desses lados é igual à base de todas as faces. Além disso, se a base for equilátera, as faces laterais têm a mesma área.
Assim, a área da base é igual a $latex \frac{1}{2}ba$, onde b é o comprimento da base e a é o comprimento da altura do triângulo da base.
Por outro lado, a área de cada face lateral é igual a $latex \frac{1}{2} bh$, onde b é o comprimento da base e h é a altura inclinada de uma face lateral. Portanto, a área da superfície é igual a:
| $latex A_{s}=\frac{1}{2}ba+\frac{3}{2}bh$ |
Exercícios de volume e área da pirâmide triangular resolvidos
EXERCÍCIO 1
Uma pirâmide tem uma altura de 5 m e uma base triangular com uma base de 4 m de comprimento e 3 m de altura. Qual é o seu volume?
Solução
Temos os seguintes dados:
- Altura da pirâmide, $latex h=5$
- Base do triângulo, $latex b=4$
- Altura do triângulo, $latex a=3$
Usamos esses valores na fórmula do volume:
$latex V=\frac{1}{6}bah$
$latex V=\frac{1}{6}(4)(3)(5)$
$latex V=10$
O volume é igual a 10 m³.
EXERCÍCIO 2
Qual é a área da superfície de uma pirâmide com uma base triangular com lados de 3 m e uma altura de 2,6 m e cujas faces têm uma altura inclinada de 4 m?
Solução
Temos os seguintes comprimentos:
- Base, $latex b=3$
- Altura da base, $latex a=2,6$
- Altura de faces, $latex h=4$
Usando a fórmula para a área de superfície com esses comprimentos, temos:
$latex A_{s}=\frac{1}{2}ba+\frac{3}{2}bh$
$latex A_{s}=\frac{1}{2}(3)(2,6)+\frac{3}{2}(3)(4)$
$latex A_{s}=3,9+18$
$latex A_{s}=21,9$
A área de superfície é de 21,9 m².
EXERCÍCIO 3
Qual é o volume de uma pirâmide com 8 m de altura e base triangular com 5 m de base e 6 m de altura?
Solução
Temos os seguintes valores:
- Altura da pirâmide, $latex h=8$
- Base do triângulo, $latex b=5$
- Altura do triângulo, $latex a=6$
Usando esses dados na fórmula de volume, temos:
$latex V=\frac{1}{6}bah$
$latex V=\frac{1}{6}(5)(6)(8)$
$latex V=40$
O volume é igual a 40 m³.
EXERCÍCIO 4
Uma pirâmide tem uma base triangular com lados de 4 m e altura de 3,5 m. Se a altura inclinada de suas faces laterais é igual a 5 m, qual é sua área da pirâmide?
Solução
Temos os seguintes valores:
- Base, $latex b=4$
- Altura da base, $latex a=3,5$
- Altura de faces, $latex h=5$
Usamos esses valores na fórmula para área de superfície:
$latex A_{s}=\frac{1}{2}ba+\frac{3}{2}bh$
$latex A_{s}=\frac{1}{2}(4)(3,5)+\frac{3}{2}(4)(5)$
$latex A_{s}=7+30$
$latex A_{s}=37$
A área é de 37 m².
EXERCÍCIO 5
Uma pirâmide tem uma altura de 11 m e uma base triangular com uma base de 7 m de comprimento e 8 m de altura. Qual é o seu volume?
Solução
Da pergunta, obtemos os seguintes valores:
- Altura da pirâmide, $latex h=11$
- Base do triângulo, $latex b=7$
- Altura do triângulo, $latex a=8$
Usamos a fórmula de volume com estes valores:
$latex V=\frac{1}{6}bah$
$latex V=\frac{1}{6}(7)(8)(11)$
$latex V=102,7$
O volume é igual a 102,7 m³.
EXERCÍCIO 6
Uma pirâmide tem uma base triangular com lados de 6 m e altura de 5,2 m. Se a altura inclinada de suas faces laterais é igual a 6 m, qual é sua área de superfície?
Solução
Da pergunta, temos o seguinte:
- Base, $latex b=6$
- Altura da base, $latex a=5,2$
- Altura de faces, $latex h=6$
Usamos esses valores na fórmula para área de superfície:
$latex A_{s}=\frac{1}{2}ba+\frac{3}{2}bh$
$latex A_{s}=\frac{1}{2}(6)(5,2)+\frac{3}{2}(6)(6)$
$latex A_{s}=15,6+54$
$latex A_{s}=69,6$
A área é 69,6 m².
EXERCÍCIO 7
Qual é o volume de uma pirâmide com uma altura de 9 m e uma base triangular de uma base de 7 m e uma altura de 9 m?
Solução
Temos os seguintes dados:
- Altura da pirâmide, $latex h=9$
- Base do triângulo, $latex b=7$
- Altura do triângulo, $latex a=9$
Substituímos esses valores na fórmula do volume:
$latex V=\frac{1}{6}bah$
$latex V=\frac{1}{6}(7)(9)(9)$
$latex V=94,5$
O volume é igual a 94,5 m³.
EXERCÍCIO 8
Qual é a área da superfície de uma pirâmide com uma base com lados de 7 m de comprimento e 6 m de altura e faces laterais de 10 m de altura?
Solução
Temos os seguintes comprimentos:
- Base, $latex b=7$
- Altura da base, $latex a=6$
- Altura de faces, $latex h=10$
Substituindo esses valores na fórmula da área de superfície, temos:
$latex A_{s}=\frac{1}{2}ba+\frac{3}{2}bh$
$latex A_{s}=\frac{1}{2}(7)(6)+\frac{3}{2}(6)(10)$
$latex A_{s}=21+90$
$latex A_{s}=111$
A área de superfície é de 111 m².
Exercícios de volume e área da pirâmide triangular para resolver
Uma pirâmide tem uma base com lados de 10 m de comprimento e 8,6 m de altura. Se a altura da pirâmide é de 12 m, qual é a sua área?
Escreva a resposta na caixa.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
