O volume de uma pirâmide retangular é calculado multiplicando a área da base pela altura da pirâmide e dividindo por três. A área de superfície de uma pirâmide retangular é calculada pela soma das áreas de todas as faces da pirâmide.
A seguir, vamos aprender as fórmulas que podemos usar para calcular o volume e a área de uma pirâmide retangular. Além disso, vamos resolver alguns exercícios em que vamos aplicar esta fórmula.
GEOMETRIA
Relevante para…
Aprender a encontrar o volume e a área da pirâmide retangular.
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Aprender a encontrar o volume e a área da pirâmide retangular.
Como calcular o volume da pirâmide retangular
O volume de qualquer pirâmide é calculado multiplicando a área de sua base pelo comprimento de sua altura e dividindo por 3. Portanto, temos a seguinte fórmula:
$latex \text{Volume} = \frac{1}{3}\text{Área base} \times \text{Altura}$
Em uma pirâmide retangular, sua base é um retângulo. Lembre-se de que a área de um retângulo é calculada multiplicando o comprimento de sua base pelo comprimento de sua largura. Portanto, temos a seguinte fórmula:
| $latex V=\frac{1}{3}b\times a\times h$ |
onde, b é o comprimento da base retangular, a é o comprimento da largura da base retangular e h é o comprimento da pirâmide.
Como calcular a área da pirâmide retangular
A área da superfície das pirâmides retangulares é igual à soma das áreas de todas as faces da pirâmide. Essas pirâmides são compostas por uma face retangular e quatro faces triangulares. As faces triangulares opostas são iguais.
Portanto, temos que encontrar expressões para as áreas de triângulos e retângulos.
Lembre-se de que a área de um retângulo é igual ao comprimento de sua base multiplicado por sua largura. Então, para a base, temos a área $latex A = ba$, onde b é o comprimento da base e a é o comprimento da largura.
Por outro lado, sabemos que a área de um triângulo é igual a metade da base do triângulo multiplicada pela altura. Temos duas bases diferentes para os triângulos, b e a, que são os comprimentos da base retangular. Além disso, a altura inclinada dos triângulos é a mesma.
Portanto, temos duas áreas diferentes para os triângulos, $latex \frac{1}{2} bh$ e $latex \frac{1}{2} ah$, onde h representa o comprimento da altura inclinada das faces triangulares.
Temos dois triângulos com cada uma dessas áreas, então a área total da superfície da pirâmide é:
$latex A_{s}=ba+bh+ah$
Exercícios de volume e área da pirâmide retangular resolvidos
EXERCÍCIO 1
Qual é o volume de uma pirâmide com 5 m de altura e uma base retangular com 4 m de base e 5 m de largura?
Solução
Temos os seguintes comprimentos:
- Altura da pirâmide, $latex h=5$
- Base do retângulo, $latex b=4$
- Largura do retângulo, $latex a=5$
Usando esses comprimentos na fórmula de volume, temos:
$latex V=\frac{1}{3}b\times a\times h$
$latex V=\frac{1}{3}\times4\times 5\times 5$
$latex V=33,3$
O volume é igual a 33,3 m³.
EXERCÍCIO 2
Qual é a área de superfície de uma pirâmide que tem uma base retangular com largura de 5 m e uma base de 4 m e onde a altura inclinada das faces é de 5 m?
Solução
Temos os seguintes valores:
- Largura retângulo, $latex a=5$
- Base retângulo, $latex b=4$
- Altura retângulo, $latex h=5$
Usando esses valores na fórmula para área de superfície, temos:
$latex A_{s}=ba+bh+ah$
$latex A_{s}=(4)(5)+(4)(5)+(5)(5)$
$latex A_{s}=20+20+25$
$latex A_{s}=65$
A área de superfície é igual a 65 m².
EXERCÍCIO 3
Se uma pirâmide retangular tem uma base de 6 m, uma largura de 5 m e uma altura de 6 m, qual é o seu volume?
Solução
Da pergunta, obtemos os seguintes valores:
- Altura da pirâmide, $latex h=6$
- Base do retângulo, $latex b=6$
- Largura do retângulo, $latex a=5$
Usando esses valores na fórmula de volume, temos:
$latex V=\frac{1}{3}b\times a\times h$
$latex V=\frac{1}{3}\times6\times 5\times 6$
$latex V=60$
O volume é igual a 60 m³.
EXERCÍCIO 4
Uma pirâmide tem uma base retangular com 6 m de largura e uma base de 7 m. Se a altura inclinada das faces triangulares é de 8 m, qual é a área da pirâmide?
Solução
Reconhecemos as seguintes informações:
- Largura retângulo, $latex a=6$
- Base retângulo, $latex b=7$
- Altura triângulos, $latex h=8$
Substituímos esses valores na fórmula para a área de superfície:
$latex A_{s}=ba+bh+ah$
$latex A_{s}=(7)(6)+(7)(8)+(6)(8)$
$latex A_{s}=42+56+48$
$latex A_{s}=146$
A área de superfície é igual a 146 m².
EXERCÍCIO 5
Uma pirâmide tem 7 m de altura. Se sua base retangular tem largura de 6 m e base de 8 m, qual é o comprimento de um de seus lados?
Solução
Temos as seguintes informações:
- Altura da pirâmide, $latex h=7$
- Base do retângulo, $latex b=8$
- Ancho do retângulo, $latex a=6$
Usamos a fórmula de volume com estes valores:
$latex V=\frac{1}{3}b\times a\times h$
$latex V=\frac{1}{3}\times 8\times 6\times 7$
$latex V=112$
O volume é igual a 112 m³.
EXERCÍCIO 6
Qual é a área de superfície de uma pirâmide retangular que tem faces triangulares com altura de 9 m e base com largura de 7 m e base de 9 m?
Solução
Temos as seguintes informações:
- Largura retângulo, $latex a=7$
- Base retângulo, $latex b=9$
- Altura triângulos, $latex h=9$
Ao substituir esses valores na fórmula da área de superfície, temos:
$latex A_{s}=ba+bh+ah$
$latex A_{s}=(9)(7)+(9)(9)+(7)(9)$
$latex A_{s}=63+81+63$
$latex A_{s}=207$
A área de superfície é igual a 207 m².
EXERCÍCIO 7
Uma pirâmide retangular tem um volume de 10 m³. Se sua altura é de 5 m e sua largura é de 3 m, qual é o comprimento de sua base?
Solução
emos o seguinte:
- Volume, $latex V=10$
- Altura da pirâmide, $latex h=5$
- Largura do retângulo, $latex a=3$
Neste caso, começamos com o volume e queremos encontrar o comprimento de sua base. Então, usamos a fórmula do volume e resolvemos para b:
$latex V=\frac{1}{3}b\times a\times h$
$latex 10=\frac{1}{3}\times b\times 3\times 5$
$latex 30= b\times 3\times 5$
$latex 30= 15b$
$latex b=2$
O comprimento da base é de 2 m.
EXERCÍCIO 8
Se uma pirâmide retangular tem uma base retangular com 8 m de largura e 10 m de base e a altura de suas faces triangulares é 11 m, qual é a sua área?
Solução
Temos as seguintes informações:
- Largura retângulo, $latex a=8$
- Base retângulo, $latex b=10$
- Altura triângulos, $latex h=11$
Encontramos a área de superfície usando estes valores na fórmula:
$latex A_{s}=ba+bh+ah$
$latex A_{s}=(10)(8)+(10)(11)+(8)(11)$
$latex A_{s}=80+110+88$
$latex A_{s}=278$
A área de superfície é igual a 278 m².
EXERCÍCIO 9
Qual é o comprimento da base de uma pirâmide retangular com volume de 144 m³, largura de 6 m e altura de 9 m?
Solução
Temos os seguintes valores:
- Volume, $latex V=144$
- Altura da pirâmide, $latex h=9$
- Ancho do retângulo, $latex a=6$
Usamos os dados fornecidos na fórmula do volume e resolvemos para b:
$latex V=\frac{1}{3}b\times a\times h$
$latex 144=\frac{1}{3}\times b\times 6\times 9$
$latex 432= b\times 6\times 9$
$latex 432= 54b$
$latex b=8$
O comprimento da base é de 8 m.
Exercícios de volume e área da pirâmide retangular para resolver
Se temos uma pirâmide retangular com base de 11 m, largura de 12 m e altura de faces triangulares de 10 m, qual é a sua área?
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
