O teorema de Pitágoras é o mais usado em trigonometria e nos permite calcular o comprimento de um dos lados se conhecermos o comprimento dos outros dois lados. Por outro lado, o teorema inverso ao teorema de Pitágoras nos permite determinar se um triângulo é reto, agudo ou obtuso comparando a soma dos quadrados dos catetos com o quadrado da hipotenusa.
Neste artigo, veremos uma definição detalhada do teorema inverso ao teorema de Pitágoras. Então vamos aprender como provar este teorema inverso e aplicá-lo para resolver alguns exercícios práticos.
O que é o teorema de Pitágoras inverso?
O teorema inverso ao teorema de Pitágoras afirma que, «Se tivermos a²+b²=c² em um triângulo com lados a, b e c, o ângulo entre a e b mede 90° e o triângulo é um triângulo retângulo.»
Também podemos usar o teorema de Pitágoras inverso para determinar se um triângulo é obtuso ou agudo. Assim, para um triângulo com os lados a, b e c, onde c é a hipotenusa, temos:
1. Se temos c²<a²+b², o ângulo oposto ao lado c é agudo e o triângulo é um triângulo agudo.
2. Se temos c²=a²+b², o ângulo oposto ao lado c é reto e o triângulo é retângulo.
3. Se tivermos c²>a²+b², o ângulo oposto ao lado c é obtuso e o triângulo é um triângulo obtuso.
Prova do teorema inverso do teorema de Pitágoras
Para provar o teorema de Pitágoras inverso, vamos usar dois triângulos.
Primeiro, temos o triângulo ABC, no qual temos AC²=AB²+BC². Para provar o teorema inverso, temos que provar que ∠B = 90°.
Em seguida, construímos um triângulo retângulo DEF com ângulo reto em E. Ou seja, temos ∠E=90°. Além disso, este triângulo satisfaz a condição de que DE=AB e EF=BC.
No triângulo DEF, podemos usar o teorema de Pitágoras, pois ∠E = 90°. Então temos:
DF²=DE²+EF²
Como DE=AB e EF=BC, podemos substituir para obter:
DF²=AB²+BC²
Como temos AC²=AB²+BC² do primeiro triângulo, podemos ver que:
AC²=DF²
AC=DF
Então, temos que todos os lados dos dois triângulos são iguais. Isso significa que os triângulos ABC e DEF são congruentes (pelo critério lado-lado-lado).
Como os triângulos são congruentes, os ângulos correspondentes são iguais. Então temos:
∠B = ∠E
Sabemos que o ângulo E é 90°, então o ângulo B também é 90°, e provamos a recíproca do teorema de Pitágoras.
Exemplos resolvidos do teorema inverso ao teorema de Pitágoras
Os exemplos a seguir são resolvidos usando o teorema inverso do teorema de Pitágoras. Tente resolver os exercícios antes de olhar para a solução.
EXEMPLO 1
Um triângulo tem lados de comprimentos 3, 5, 6 unidades. Determine se o triângulo é obtuso, reto ou agudo.
Solução
Podemos ver que 6 é o lado maior. Assim, podemos escrever:
c²=a²+b²
(6)²=(3)²+(5)²
36=9+25
36=34
Então, temos (6)²>(3)²+(5)². Isso significa que o triângulo é obtuso.
EXEMPLO 2
Um triângulo tem lados de comprimentos 6, 8 e 10 unidades. O triângulo é agudo, obtuso ou reto?
Solução
Neste caso, o lado maior é 10. Então, temos:
c²=a²+b²
(10)²=(6)²+(8)²
100=36+64
100=100
Então, temos (10)²=(6)²+(8)². Isso significa que o triângulo é um triângulo retângulo.
EXEMPLO 3
Determine se o triângulo com lados 6, 7, 9 unidades é agudo, obtuso ou reto.
Solução
O lado maior é 9. Então, temos:
c²=a²+b²
(9)²=(6)²+(7)²
81=36+49
81=85
Então, temos (9)²<(6)²+(7)². Isso significa que o triângulo é agudo.
EXEMPLO 4
Determine se o triângulo com lados 10, 12, 15 unidades é reto ou não.
Solução
O lado maior é 15. Então, temos:
c²=a²+b²
(15)²=(10)²+(12)²
225=100+144
225=244
Isso significa que o triângulo não é um triângulo retângulo.
Exercícios do teorema de Pitágoras inverso para resolver
Aplique o que você aprendeu sobre o teorema de Pitágoras inverso e resolva os exercícios a seguir. Clique em “Verificar” para verificar sua resposta.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
