Teorema de Pitágoras em 3D – Fórmula e Exemplos

O Teorema de Pitágoras 3D é uma extensão do Teorema de Pitágoras 2D que pode ser usado para resolver problemas em três dimensões, como cubos e pirâmides retangulares. Em três dimensões, a fórmula geral para o teorema de Pitágoras em 3D é $latex {{c}^2}={{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}$, onde x, y, z são os comprimentos correspondentes das três dimensões.

Nesta lição, examinaremos como o teorema de Pitágoras funciona em três dimensões. Também veremos a demonstração e exemplos com soluções.

GEOMETRIA
fórmula-do-teorema-de-Pitágoras-em-3D

Relevante para

Aprender sobre o teorema de Pitágoras em 3D com exercícios.

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Fórmula e prova do teorema de Pitágoras em 3D

O teorema de Pitágoras é uma fórmula que pode ser usada para calcular os comprimentos dos três lados de um triângulo retângulo. O teorema de Pitágoras nos diz que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

Lembre-se que a hipotenusa é o lado do triângulo oposto ao ângulo reto (90°) e os catetos são os outros dois lados do triângulo. O triângulo a seguir será usado para mostrar isso:

triângulo retângulo com lados e ângulos

Neste triângulo, a fórmula do teorema de Pitágoras é:

$latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$

Esta fórmula é válida em 2D, que tal em 3D?

Imagine um cubo e queremos encontrar o comprimento da diagonal, ou seja, a distância do canto frontal inferior esquerdo ao canto superior direito traseiro (de A a B):

cubo-com-diagonal-para-Pitágoras-3D

Podemos desenhar um triângulo retângulo na face inferior do prisma. Atribuímos c, x e y como os três lados do triângulo retângulo.

cubo-com-diagonal-para-Pitágoras-3D-com-dimensões

No diagrama acima, podemos identificar um triângulo retângulo onde podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar c.

$latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$

$latex {{c}^2}={{x}^2}+{{y}^2}$

$latex  {c}= \sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}}$

Queremos encontrar o comprimento de h. Para encontrar o comprimento de h, podemos usar o valor de c como um dos catetos de outro triângulo retângulo, formado por c, h e z.

Segue a solução abaixo:

$latex h^2={{c}^2}+{{z}^2}$

$latex h^2=(\sqrt{(x^2+y^2))^2}+z^2$

$latex  h^2={{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}$

Agora podemos derivar uma fórmula geral usando o resultado final da solução.

A fórmula do Teorema de Pitágoras 3D é:

$latex {{c}^2}={{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}$

Exercícios resolvidos de teorema de Pitágoras em 3D

Podemos resolver diferentes situações do teorema de Pitágoras em 3D usando a fórmula mostrada acima. Há uma solução completa para cada um dos exemplos a seguir.

EXERCÍCIO 1

Encontre o comprimento de c no cubo abaixo.

exemplo-de-teorema-de-Pitágoras-1
Solução

EXERCÍCIO 2

Encontre o comprimento de h no prisma abaixo.

3D-teorema de Pitágoras-exemplo-2
Solução

EXERCÍCIO 3

Encontre o comprimento de h neste prisma abaixo.

exemplo-de-teorema-de-Pitágoras-3D-3
Solução

EXERCÍCIO 4

Encontre o comprimento de h, no diagrama abaixo.

3D-teorema-de-pitágoras-exemplo-4
Solução

EXERCÍCIO 5

Encontre o comprimento de x do cubo no diagrama abaixo.

3D-teorema de Pitágoras-exemplo-5
Solução

EXERCÍCIO 6

Encontre o comprimento da diagonal do cubo que tem todos os três lados com um comprimento de 3 mm.

Solução

Exercícios de teorema de Pitágoras 3D para resolver

Teste seus conhecimentos sobre este tópico resolvendo os seguintes exercícios sobre o teorema de Pitágoras em 3D. Para responder aos exercícios, use a fórmula do teorema de Pitágoras 3D descrita acima.

Encontre o comprimento da diagonal de um cubo que tem lados de 1m.

Escolha uma resposta






Encontre o comprimento da diagonal de um cubo que tem lados de 2m.

Escolha uma resposta






Encontre o comprimento da diagonal de um prisma retangular com comprimento $latex 2~\sqrt{2}$ m, largura $latex 2~\sqrt{2}$ m, e altura $latex 2~\sqrt{2} $m ?

Escolha uma resposta






Encontre o comprimento da diagonal de um prisma retangular com comprimento de 4 m, largura de 1 m e altura de $latex 2~\sqrt{2}$ m?

Escolha uma resposta






Encontre o comprimento do lado do cubo que tem uma diagonal de comprimento $latex \sqrt{3}$ m.

Escolha uma resposta







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Jefferson Huera Guzman

Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.

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