Teorema de Pitágoras em 3D - Fórmula e Exemplos

O Teorema de Pitágoras 3D é uma extensão do Teorema de Pitágoras 2D que pode ser usado para resolver problemas em três dimensões, como cubos e pirâmides retangulares. Em três dimensões, a fórmula geral para o teorema de Pitágoras em 3D é $latex {{c}^2}={{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}$, onde x, y, z são os comprimentos correspondentes das três dimensões.

Nesta lição, examinaremos como o teorema de Pitágoras funciona em três dimensões. Também veremos a demonstração e exemplos com soluções.

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Fórmula e prova do teorema de Pitágoras em 3D

O teorema de Pitágoras é uma fórmula que pode ser usada para calcular os comprimentos dos três lados de um triângulo retângulo. O teorema de Pitágoras nos diz que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

Lembre-se que a hipotenusa é o lado do triângulo oposto ao ângulo reto (90°) e os catetos são os outros dois lados do triângulo. O triângulo a seguir será usado para mostrar isso:

Neste triângulo, a fórmula do teorema de Pitágoras é:

$latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$

Esta fórmula é válida em 2D, que tal em 3D?

Imagine um cubo e queremos encontrar o comprimento da diagonal, ou seja, a distância do canto frontal inferior esquerdo ao canto superior direito traseiro (de A a B):

Podemos desenhar um triângulo retângulo na face inferior do prisma. Atribuímos c, x e y como os três lados do triângulo retângulo.

cubo-com-diagonal-para-Pitágoras-3D-com-dimensões

No diagrama acima, podemos identificar um triângulo retângulo onde podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar c.

$latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$

$latex {{c}^2}={{x}^2}+{{y}^2}$

$latex {c}= \sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}}$

Queremos encontrar o comprimento de h. Para encontrar o comprimento de h, podemos usar o valor de c como um dos catetos de outro triângulo retângulo, formado por c, h e z.

Segue a solução abaixo:

$latex h^2={{c}^2}+{{z}^2}$

$latex h^2=(\sqrt{(x^2+y^2))^2}+z^2$

$latex h^2={{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}$

Agora podemos derivar uma fórmula geral usando o resultado final da solução.

A fórmula do Teorema de Pitágoras 3D é:

$latex {{c}^2}={{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}$

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Exercícios resolvidos de teorema de Pitágoras em 3D

Podemos resolver diferentes situações do teorema de Pitágoras em 3D usando a fórmula mostrada acima. Há uma solução completa para cada um dos exemplos a seguir.

EXERCÍCIO 1

Encontre o comprimento de c no cubo abaixo.

Solução

Primeiro, precisamos identificar os três lados e cada comprimento correspondente do cubo. Neste caso, todos os três comprimentos são iguais a 4 unidades.

Agora, podemos usar diretamente a fórmula do Teorema de Pitágoras 3D e substituir cada valor na fórmula.

$latex {{c}^2}={{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}$

$latex {{c}^2}={{(4)}^2}+{{(4)}^2}+{{(4)}^2}$

$latex {{c}^2}=16 + 16 +16$

$latex c = \sqrt{48}$

$latex c = {4}\sqrt{3}$

Então o comprimento de c é $latex {4}\sqrt{3}$.

const alltoggles = document.getElementsByClassName("wp-block-ub-content-toggle-accordion-title-wrap"); const toggle1 = alltoggles[0]; toggle1.addEventListener('click', runToggle1); function runToggle1() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3" }); toggle1.removeEventListener('click', runToggle1); }

EXERCÍCIO 2

Encontre o comprimento de h no prisma abaixo.

Solução

Primeiro, precisamos identificar os três lados e cada comprimento correspondente. Neste caso temos 2, 3 e 4 unidades. Agora, podemos usar diretamente a fórmula do Teorema de Pitágoras 3D e substituir os valores na fórmula.

$latex {{h}^2}={{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}$

$latex {{h}^2}={{(2)}^2}+{{(3)}^2}+{{(4)}^2}$

$latex {{h}^2}=4 + 9 +16$

$latex h = \sqrt{29}$

Então o comprimento de h é $latex \sqrt{29}$.

const toggle2 = alltoggles[1]; toggle2.addEventListener('click', runToggle2); function runToggle2() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_2" }); toggle2.removeEventListener('click', runToggle2);}

EXERCÍCIO 3

Encontre o comprimento de h neste prisma abaixo.

Solução

Da mesma forma, precisamos identificar os três lados e seus respectivos comprimentos de 2, 3 e $latex 2\sqrt{3}$ unidades. Agora podemos usar a fórmula do teorema de Pitágoras em 3D diretamente.

Substituímos esses valores na fórmula:

$latex {{h}^2}={{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}$

$latex {{h}^2}={{(2)}^2}+{{(3)}^2}+{{(2\sqrt{3})}^2}$

$latex {{h}^2}=4 + 9 +12$

$latex h = \sqrt{25}$

$latex h = 5$

Portanto, o comprimento de h é 5.

const toggle3 = alltoggles[2]; toggle3.addEventListener('click', runToggle3); function runToggle3() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_3" }); toggle3.removeEventListener('click', runToggle3);}

EXERCÍCIO 4

Encontre o comprimento de h, no diagrama abaixo.

Solução

Da mesma forma, precisamos identificar os três lados e seus respectivos comprimentos de 2, 3 e $latex 2\sqrt{3}$ unidades. Agora podemos usar a fórmula de Pitagóras 3D diretamente.

Substituímos esses valores na fórmula:

$latex {{h}^2}={{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}$

$latex {{h}^2}=(2)^2+(3\sqrt{3})^2+(2\sqrt{3})^2$

$latex {{h}^2}=4 + 27 +12$

$latex h = \sqrt{43}$

Então o comprimento de h é $latex \sqrt{43}$.

const toggle4 = alltoggles[3]; toggle4.addEventListener('click', runToggle4); function runToggle4() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_4" }); toggle4.removeEventListener('click', runToggle4);}

EXERCÍCIO 5

Encontre o comprimento de x do cubo no diagrama abaixo.

Solução

Nesse caso, temos que resolver isso usando uma abordagem diferente, pois não temos os comprimentos dos lados do cubo.

Vemos que a hipotenusa do cubo é $latex 2\sqrt{3}$ unidades. Então, temos que lembrar que o cubo tem três lados idênticos:

Digamos que x=y=z

Agora podemos derivar uma nova forma do teorema de Pitágoras em 3D usando esses lados idênticos:

$latex {{h}^2}={{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}$

$latex {{h}^2}={{x}^2}+{{x}^2}+{{x}^2}$

$latex {{h}^2}={{3x}^2}$

Agora, podemos substituir o valor dado:

$latex {{3x}^2}={{h}^2}$

$latex {{3x}^2}={{({2}\sqrt{3})}^2}$

$latex {{x}^2}=\frac{{({{2}\sqrt{3})}^2}}{3}$

$latex {{x}^2}=\frac{12}{3}$

$latex {{x}^2}= 4$

$latex {x}= 2$

Portanto, o comprimento de cada lado do cubo é de 2 unidades.

const toggle5 = alltoggles[4]; toggle5.addEventListener('click', runToggle5); function runToggle5() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_5" }); toggle5.removeEventListener('click', runToggle5);}

EXERCÍCIO 6

Encontre o comprimento da diagonal do cubo que tem todos os três lados com um comprimento de 3 mm.

Solução

Como é um cubo, todos os lados têm o mesmo comprimento. Portanto, podemos usar a fórmula do teorema de Pitágoras em 3D para encontrar o comprimento da diagonal usando o comprimento de 3 para todos os três lados.

Substituímos esses valores na fórmula:

$latex {{h}^2}={{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}$

$latex {{h}^2}={{(3)}^2}+{{(3)}^2}+{{(3)}^2}$

$latex {{h}^2}=9 + 9+ 9 $

$latex h = \sqrt{27}$

$latex h= 3\sqrt{3}$

Então o comprimento de h é $latex 3\sqrt{3}$ mm.

const toggle6 = alltoggles[5]; toggle6.addEventListener('click', runToggle6); function runToggle6() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_6" }); toggle6.removeEventListener('click', runToggle6);}

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Exercícios de teorema de Pitágoras 3D para resolver

Teste seus conhecimentos sobre este tópico resolvendo os seguintes exercícios sobre o teorema de Pitágoras em 3D. Para responder aos exercícios, use a fórmula do teorema de Pitágoras 3D descrita acima.

Encontre o comprimento da diagonal de um cubo que tem lados de 1m.

Escolha uma resposta

2 m

3 m

$latex \sqrt{3}$ m

$latex 2~\sqrt{3}$ m

Encontre o comprimento da diagonal de um cubo que tem lados de 2m.

Escolha uma resposta

2 m

$latex 2~\sqrt{3}$ m

$latex 3~\sqrt{3}$ m

4 m

freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_p1" });

Encontre o comprimento da diagonal de um prisma retangular com comprimento $latex 2~\sqrt{2}$ m, largura $latex 2~\sqrt{2}$ m, e altura $latex 2~\sqrt{2} $m ?

Escolha uma resposta

1 m

$latex \sqrt{3}$ m

2 m

$latex 4~\sqrt{6}$ m

Encontre o comprimento da diagonal de um prisma retangular com comprimento de 4 m, largura de 1 m e altura de $latex 2~\sqrt{2}$ m?

Escolha uma resposta

5 m

$latex 5~\sqrt{2}$ m

6 m

7 m

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Encontre o comprimento do lado do cubo que tem uma diagonal de comprimento $latex \sqrt{3}$ m.

Escolha uma resposta

3 m

4 m

1 m

2 m

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Jefferson Huera Guzman

Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.

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Exercícios resolvidos de teorema de Pitágoras em 3D

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Exercícios de teorema de Pitágoras 3D para resolver

Encontre o comprimento da diagonal de um cubo que tem lados de 1m.

Encontre o comprimento da diagonal de um cubo que tem lados de 2m.

Encontre o comprimento da diagonal de um prisma retangular com comprimento $latex 2~\sqrt{2}$ m, largura $latex 2~\sqrt{2}$ m, e altura $latex 2~\sqrt{2} $m ?

Encontre o comprimento da diagonal de um prisma retangular com comprimento de 4 m, largura de 1 m e altura de $latex 2~\sqrt{2}$ m?

Encontre o comprimento do lado do cubo que tem uma diagonal de comprimento $latex \sqrt{3}$ m.

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