A área de um prisma é uma medida da área de superfície bidimensional ocupada pelo prisma. Por outro lado, o volume representa o espaço tridimensional ocupado pelo prisma. Podemos calcular a área de um prisma somando as áreas de todas as suas faces e podemos calcular seu volume usando a fórmula V=Bh, onde B é a área da base e h é a altura do prisma.
A seguir, aprenderemos tudo sobre a área e o volume de um prisma. Vamos conhecer suas fórmulas e usá-las para resolver alguns exercícios práticos.
Como calcular a área de um prisma?
A área de qualquer prisma pode ser calculada adicionando as áreas de todas as faces do prisma. Dependendo do tipo de prisma que temos, teremos um número diferente de faces.
Em um prisma, temos duas bases que têm as mesmas dimensões e a mesma área. Além disso, temos várias faces laterais que podem ou não ter a mesma área dependendo se as bases são regulares.
Por exemplo, no prisma triangular que podemos ver no diagrama a seguir, podemos encontrar a área das bases com a fórmula $latex \frac{1}{2}ab$, onde a é a altura do triângulo base e b é o comprimento de sua base. Isso significa que a área de ambas as faces triangulares é $latex ab$.
Além disso, a área das faces laterais retangulares é igual à altura do prisma multiplicada por cada lado da base triangular. Ou seja, temos as áreas $latex b_{1}h$, $latex b_{2}h$ e $latex b_{3}h$. Portanto, a área do prisma triangular é:
| $latex A_{s}=ab+b_{1}h+b_{2}h+b_{3}h$ |
No caso de um prisma retangular, temos seis faces retangulares. Geralmente, esses prismas têm suas três dimensões com comprimentos diferentes, como mostra o diagrama abaixo.
Assim, considerando que as faces paralelas de um prisma retangular possuem a mesma área, podemos obter a seguinte fórmula para sua área:
| $latex A_{s}=2(bl+lh+hb)$ |
onde,
- b é o comprimento da base do prisma
- l é o comprimento da largura do prisma
- h é o comprimento da altura do prisma
Essas ideias podem ser aplicadas para calcular a área de qualquer prisma.
Como calcular o volume de um prisma?
O volume de qualquer prisma pode ser calculado multiplicando a área de sua base pela altura do prisma. Assim, podemos usar a seguinte fórmula:
| $latex V=A_{ base}\times h$ |
A área da base do prisma dependerá do tipo de prisma que temos. Por exemplo, em um prisma triangular, podemos calcular a área de sua base multiplicando metade do comprimento da base pelo comprimento da altura. Assim, temos a seguinte fórmula:
| $latex V=\frac{1}{2}b\times a\times h$ |
onde,
- b é a base do triângulo
- a é a altura do triângulo
- h é a altura do prisma
No caso de um prisma retangular, podemos calcular a área de sua base multiplicando o comprimento pela largura e o comprimento da base. Então, temos o seguinte:
| $latex V=l\times b \times h$ |
onde,
- l é o comprimento da largura do prisma
- b é o comprimento da base do prisma
- h é o comprimento da altura do prisma
Podemos usar essas ideias para calcular o volume de qualquer prisma.
Área e volume de prismas – Exercícios resolvidos
Nos exercícios a seguir, temos que encontrar a área e o volume de vários prismas. Tente resolver os exercícios antes de olhar para a solução.
EXERCÍCIO 1
Qual é a área de um prisma triangular com uma altura de 10 cm e sua base triangular tem lados de comprimento 13 cm, 10 cm, 13 cm e uma altura de 12 cm?
Solução
Temos as seguintes informações:
- Altura do prisma, $latex h=10$
- Lado 1, $latex b_{1}=13$
- Lado 2, $latex b_{2}=10$
- Lado 3, $latex b_{3}=13$
- Altura do triângulo, $latex a=12$
Com isso, podemos encontrar a área de ambas as bases triangulares e a área das três faces retangulares laterais. Então nós temos:
$latex A_{s}=ab+b_{1}h+b_{2}h+b_{3}h$
$$A_{s}=(12)(10)+(13)(10)+(10)(10)+(13)(10)$$
$latex A_{s}=120+130+100+130$
$latex A_{s}=480$
A área é igual a 480 cm².
EXERCÍCIO 2
Encontre o volume de um prisma que tem uma altura de 8 mm e sua base triangular tem uma altura de 6 mm e uma base de 7 mm.
Solução
Temos o seguinte:
- Altura do prisma, $latex h=8$
- Altura do triângulo, $latex a=6$
- Base triangular, $latex b=7$
Para encontrar o volume, temos que multiplicar a área da base pela altura do prisma. Então temos:
$latex V=\frac{1}{2}bah$
$latex V=\frac{1}{2}(7)(6)(8)$
$latex V=168$
O volume é de 168 mm³.
EXERCÍCIO 3
Qual é a área de um prisma retangular com uma base de 7 cm, uma largura de 6 cm e uma altura de 8 cm?
Solução
Temos os seguintes comprimentos:
- Base, $latex b=7$
- Largura, $latex l=6$
- Altura, $latex h=8$
Temos que encontrar as áreas das seis faces retangulares, considerando que as faces paralelas têm a mesma área. Então temos:
$latex A_{s}=2(bl+lh+hb)$
$latex A_{s}=2((7)(6)+(6)(8)+(8)(7))$
$latex A_{s}=2(42+48+56)$
$latex A_{s}=2(146)$
$latex A_{s}=292$
A área é igual a 292 cm².
EXERCÍCIO 4
Qual é o volume de um prisma retangular que tem uma base de 8 metros, uma largura de 6 metros e uma altura de 7 metros.
Solução
Temos as seguintes informações:
- Base, $latex b=8$
- Largura, $latex l=6$
- Altura, $latex h=7$
Para encontrar o volume do prisma retangular, basta multiplicar os comprimentos de suas três dimensões:
$latex V=b \times l \times h$
$latex V=8 \times 6 \times 7$
$latex V=336$
O volume é igual a 336 m³.
EXERCÍCIO 5
Determine a área de um prisma triangular com uma altura de 5 mm, uma base equilátera com lados de 6 mm e uma altura de 5,2 mm.
Solução
Temos os seguintes comprimentos:
- Altura do prisma, $latex h=5$
- Lado, $latex b=6$
- Altura do triângulo, $latex a=5,2$
Como as bases do prisma são triângulos equiláteros, seus lados têm o mesmo comprimento. Assim, calculamos sua área da seguinte forma:
$latex A_{s}=ab+bh+bh+bh$
$latex A_{s}=ab+3bh$
$latex A_{s}=(5,2)(6)+3(6)(5)$
$latex A_{s}=31,2+90$
$latex A_{s}=121,2$
A área é igual a 121,2 mm².
EXERCÍCIO 6
Encontre o volume de um prisma com uma altura de 8 cm e sua base triangular tem uma altura de 6 cm e uma base de 7 cm.
Solução
Temos os seguintes comprimentos:
- Altura do prisma, $latex h=8$
- Altura do triângulo, $latex a=6$
- Base triangular, $latex b=7$
Encontramos o volume do prisma multiplicando a área da base triangular pela altura do prisma:
$latex V=\frac{1}{2}bah$
$latex V=\frac{1}{2}(7)(6)(8)$
$latex V=168$
O volume é igual a 168 cm³.
EXERCÍCIO 7
Qual é o comprimento da altura de um prisma retangular com uma área de 148 mm² se sua base é 6 mm e sua largura é 4 mm?
Solução
Temos as seguintes informações:
- Base, $latex b=6$
- Largura, $latex l=4$
- Área de superfície, $latex A=148$
Nesse caso, temos a área do prisma retangular e precisamos encontrar o comprimento da altura. Então, usamos a fórmula da área e resolvemos para h:
$latex A_{s}=2(bl+lh+hb)$
$latex 148=2((6)(4)+(4)h+(6)(h))$
$latex 148=2(24+10h)$
$latex 74=24+10h)$
$latex 10h=74-24$
$latex 10h=50$
$latex h=5$
O comprimento da altura é de 5 mm.
EXERCÍCIO 8
Qual é o comprimento da altura de um prisma retangular com uma base de 5 metros, uma largura de 3 metros e um volume de 90 m³?
Solução
Temos o seguinte:
- Base, $latex b=5$
- Largura, $latex l=3$
- Volume, $latex V=90$
Neste caso, vamos usar a fórmula do volume e resolver para h:
$latex V=b \times l \times h$
$latex 90=5 \times 3 \times h$
$latex 90=15h$
$latex h=6$
O comprimento da altura é de 6 m.
EXERCÍCIO 9
Encontre a área de um prisma hexagonal com uma altura de 5 cm e uma base hexagonal com lados de 3 cm de comprimento.
Solução
Temos as seguintes informações:
- Lados hexagonais, $latex a=3$
- Altura do prisma, $latex h=5$
Um prisma hexagonal tem duas bases hexagonais e seis faces laterais retangulares. A Área das seis faces retangulares é igual a 6ah e a Área das faces hexagonais é igual a $latex 3\sqrt{3}{{a}^2}$. Então temos:
$latex A_{s}=3\sqrt{3}{{a}^2}+6ah$
$latex A_{s}=3\sqrt{3}{{(3)}^2}+6(3)(5)$
$latex A_{s}=3\sqrt{3}(9)+90$
$latex A_{s}=46,77+90$
$latex A_{s}=136,77$
A área é igual a 136,77 cm².
EXERCÍCIO 10
Encontre o volume de um prisma hexagonal que tem lados de 4 cm de comprimento e uma altura de 6 cm.
Solução
Temos os seguintes comprimentos.
- Lados hexagonais, $latex a=4$
- Altura, $latex h=6$
O volume do prisma hexagonal é igual à área da base hexagonal multiplicada pela altura do prisma:
$latex V=\frac{3\sqrt{3}}{2}{{a}^2}h$
$latex V=\frac{3\sqrt{3}}{2}{{(4)}^2}(6)$
$latex V=\frac{3\sqrt{3}}{2}(16)(6)$
$latex V=249,4$
O volume é igual a 249,4 cm³.
Área e volume de prismas – Exercícios para resolver
Use tudo o que você aprendeu sobre a área e o volume de um prisma para resolver os exercícios a seguir.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
