A área de um cilindro representa a soma das áreas de suas faces e é uma medida bidimensional. Por outro lado, o volume é uma medida do espaço tridimensional ocupado pelo cilindro. Podemos calcular a área de um cilindro usando a fórmula A=2πr(r+h) e podemos calcular seu volume usando a fórmula V=πr²h, onde r é o raio e h é a altura do cilindro.
A seguir, aprenderemos sobre a área e o volume de um cilindro. Aprenderemos as diferentes fórmulas que podemos usar para calcular essas medidas e as aplicaremos para resolver alguns exercícios.
Como calcular a área de um cilindro?
Para calcular a área de um cilindro, temos que somar as áreas de todas as faces do cilindro. Assim, podemos usar as seguintes fórmulas:
| $latex A_{s}=2\pi {{r}^2}+2\pi r h$ ou $latex A_{s}=2\pi r(r+h)$ |
onde, r é o comprimento do raio e h é a altura do cilindro.
Prova da fórmula para a área de um cilindro
Para provar a fórmula da área de um cilindro, consideramos que a área total de um cilindro é composta pelas seguintes partes:
- Área de base
- Área de superfície curva
Área das bases do cilindro
O cilindro tem duas bases circulares, então podemos calcular sua área usando a fórmula da área de um círculo. Como temos duas bases circulares, multiplicamos a fórmula da área de um círculo por 2:
$latex \text{Área}_{\text{bases}}=2\pi{{r}^2}$
Área da superfície curva do cilindro
A área de superfície lateral pode ser calculada usando o diagrama mostrado abaixo. Se esticarmos essa superfície, formaremos um retângulo com altura h e base igual à circunferência das bases circulares, ou seja, 2πr.
Assim, podemos encontrar esta área com a seguinte fórmula:
$latex \text{Área}_{\text{lateral}}=2\pi r h$
Área total do cilindro
Para encontrar a área total do cilindro, temos que somar a área das bases circulares e a área da superfície lateral:
$latex A_{s}=2\pi {{r}^2}+2\pi r h$
ou
$latex A_{s}=2\pi r(r+h)$
Como calcular o volume de um cilindro?
Podemos calcular o volume de um cilindro multiplicando a área da base pela sua altura:
Volumen = Base × Altura
Como as bases de um cilindro são circulares, a área da base é igual a πr², onde r é o raio. Assim, a fórmula para o volume de um cilindro é:
| $latex V=\pi {{r}^2}\times h$ |
onde, r é o comprimento do raio do cilindro e h é o comprimento de sua altura.
Calcule o volume de um cilindro usando o diâmetro
Para calcular o volume de um cilindro usando o diâmetro, podemos usar dois métodos diferentes. O primeiro método é dividir o diâmetro por 2 para obter o comprimento do raio e aplicar a fórmula do volume acima.
Alternativamente, podemos encontrar uma fórmula para o volume de um cilindro em função do diâmetro substituindo a expressão r=d/2:
$latex V=\pi {{r}^2}\times h$
$latex V=\pi {{(\frac{d}{2})}^2}\times h$
$latex V=\pi \frac{{{d}^2}}{4}\times h$
| $latex V= \frac{\pi{{d}^2}}{4}\times h$ |
onde, d é o comprimento do diâmetro.
Como calcular o volume de um cilindro oco?
Podemos calcular o volume de um cilindro oco subtraindo o volume da parte oca do volume total do cilindro. Isso pode ser obtido usando a seguinte fórmula:
| $latex V=\pi h({{r_{1}}^2}-{{r_{2}}^2})$ |
onde, $latex r_{1}$ é o raio do cilindro, $latex r_{2}$ é o raio da parte oca e h é a altura do cilindro.
Essa fórmula equivale a calcular o volume de um cilindro inteiro e depois extrair o volume do cilindro interno que foi removido.
Área e volume de um cilindro – Exercícios resolvidos
As fórmulas para a área e o volume de um cilindro são usadas para resolver os seguintes exercícios. Tente resolver os exercícios antes de olhar para a solução.
EXERCÍCIO 1
Encontre a área de um cilindro com um raio de 5 cm e uma altura de 8 cm.
Solução
Temos os seguintes comprimentos:
- Raio, $latex r=5$
- Altura, $latex h=8$
Usando esses comprimentos na fórmula da área do cilindro, temos:
$latex A_{s}=2\pi r(r+h)$
$latex A_{s}=2\pi (5)(5+8)$
$latex A_{s}=2\pi (5)(13)$
$latex A_{s}=408,4$
A área é igual a 408,4 cm².
EXERCÍCIO 2
Encontre o volume de um cilindro com um raio de 5 mm e uma altura de 10 mm.
Solução
Temos o seguinte:
- Raio, $latex r=5$
- Altura, $latex h=10$
Aplicando a fórmula do volume com os comprimentos dados, temos:
$latex V=\pi {{r}^2}\times h$
$latex V=\pi {{(5)}^2}\times 10$
$latex V=\pi (25)\times 10$
$latex V=785,4$
O volume é igual a 785,4 mm³.
EXERCÍCIO 3
Qual é a área de um cilindro com uma altura de 7 m e um raio de 6 m?
Solução
Temos o seguinte:
- Raio, $latex r=6$
- Altura, $latex h=7$
Usando esses valores na fórmula da área do cilindro, temos:
$latex A_{s}=2\pi r(r+h)$
$latex A_{s}=2\pi (6)(6+7)$
$latex A_{s}=2\pi (6)(13)$
$latex A_{s}=490,1$
A área é igual a 490,1 m².
EXERCÍCIO 4
Encontre o volume de um cilindro que tem um raio de 6 cm e uma altura de 8 cm.
Solução
Temos os seguintes comprimentos:
- Raio, $latex r=6$
- Altura, $latex h=8$
Usando a fórmula do volume com esses comprimentos, temos:
$latex V=\pi {{r}^2}\times h$
$latex V=\pi {{(6)}^2}\times 8$
$latex V=\pi (36)\times 8$
$latex V=904,8$
O volume é igual a 904,8 cm³.
EXERCÍCIO 5
Qual é a área de um cilindro com uma altura de 12 mm e um raio de 8 mm?
Solução
Temos os seguintes comprimentos:
- Raio, $latex r=8$
- Altura, $latex h=12$
Usando a fórmula da área do cilindro, temos:
$latex A_{s}=2\pi r(r+h)$
$latex A_{s}=2\pi (8)(8+12)$
$latex A_{s}=2\pi (8)(20)$
$latex A_{s}=1005,3$
A área é igual a 1005,3 mm².
EXERCÍCIO 6
Determine o volume de um cubo que tem 8 cm de diâmetro e 12 cm de altura.
Solução
Temos os seguintes comprimentos:
- Diámetro, $latex d=8$
- Altura, $latex h=12$
Neste caso, temos o comprimento do diâmetro, então usamos a fórmula do volume em função do diâmetro do cilindro:
$latex V=\pi (\frac{{{d}^2}}{4})\times h$
$latex V=\pi (\frac{{{(8)}^2}}{4})\times 12$
$latex V=\pi (\frac{64}{4})\times 12$
$latex V=\pi (16)\times 12$
$latex V=603,2$
O volume é igual a 603,2 cm³.
EXERCÍCIO 7
Qual é a área de um cilindro com um diâmetro de 6 mm e uma altura de 7 mm?
Solução
Como temos o comprimento do diâmetro, podemos simplesmente dividir o diâmetro por 2 para obter o raio do cilindro. Então temos:
- Raio, $latex r=3$
- Altura, $latex h=7$
Aplicando a fórmula da área do cilindro, temos:
$latex A_{s}=2\pi r(r+h)$
$latex A_{s}=2\pi (3)(3+7)$
$latex A_{s}=2\pi (3)(10)$
$latex A_{s}=188,5$
A área é igual a 188,5 mm².
EXERCÍCIO 8
Encontre o volume de um cilindro que tem 12 m de diâmetro e 11 m de altura.
Solução
Temos o seguinte:
- Diâmetro, $latex d=12$
- Altura, $latex h=11$
Usando a fórmula do volume em termos de diâmetro, temos:
$latex V=\pi (\frac{{{d}^2}}{4})\times h$
$latex V=\pi (\frac{{{(12)}^2}}{4})\times 11$
$latex V=\pi (\frac{144}{4})\times 11$
$latex V=\pi (36)\times 11$
$latex V=1244,1$
O volume é igual a 1244,1 m³.
EXERCÍCIO 9
Encontre a área de um cilindro com um diâmetro de 12 cm e uma altura de 13 cm.
Solução
Podemos dividir o diâmetro por 2 para obter o raio e temos:
- Raio, $latex r=6$
- Altura, $latex h=13$
Usando a fórmula da área do cilindro com os valores dados, temos:
$latex A_{s}=2\pi r(r+h)$
$latex A_{s}=2\pi (6)(6+13)$
$latex A_{s}=2\pi (6)(19)$
$latex A_{s}=716.3$
A área é igual a 716,3 cm².
EXERCÍCIO 10
Qual é o volume de um cilindro oco que tem uma altura de 15 mm, um raio interno de 5 mm e um raio externo de 6 mm?
Solução
Temos os seguintes comprimentos:
- Altura, $latex h=15$
- Raio externo, $latex r_{1}=6$
- Raio interno, $latex r_{2}=5$
Usando a fórmula do volume de um cilindro oco, temos:
$latex V=\pi h({{r_{1}}^2}-{{r_{2}}^2})$
$latex V=\pi (15)({{6}^2}-{{5}^2})$
$latex V=\pi (15)(36-25)$
$latex V=\pi (15)(11)$
$latex V=518,4$
O volume é igual a 518,4 mm³.
Área e volume de um cilindro – Exercícios para resolver
Resolva os exercícios a seguir usando as diferentes fórmulas para a área e o volume de um cilindro. Você pode usar os exercícios resolvidos acima como um guia.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
