O apótema de um pentágono é a distância perpendicular do centro do pentágono ao centro de um de seus lados. O apótema também pode ser considerado como o raio do incircle de um polígono. O apótema é usado principalmente para calcular a área de um polígono regular.
A seguir, aprenderemos como calcular o apótema de um pentágono. Além disso, usaremos a fórmula do apótema para resolver alguns exercícios.
Fórmula para o apótema de um pentágono
Para encontrar a fórmula do apótema, podemos usar a imagem de um pentágono:
Aqui, dividimos o pentágono em cinco triângulos congruentes e usamos um dos triângulos para encontrar o apótema. Podemos ver que o apótema tem a altura de um dos triângulos e divide um dos lados em duas partes iguais.
Podemos usar trigonometria para encontrar o comprimento do apotema. Começamos encontrando o ângulo do centro do apótema. Temos cinco triângulos e, dividindo cada triângulo em dois, teríamos 10 pequenos triângulos.
Além disso, sabemos que uma volta completa tem 360°, então, dividindo pelos 10 triângulos, temos 36°. O ângulo no centro do pentágono sempre mede 36°.
Usamos a tangente para calcular a altura do triângulo. Em um triângulo retângulo, a tangente de um ângulo é igual ao comprimento do lado oposto dividido pelo comprimento do lado adjacente.
O lado oposto ao ângulo de 36° é a base do triângulo (metade do comprimento de um lado do pentágono). O lado adjacente ao ângulo de 36° é a altura do triângulo. Então, temos:
$latex \tan(36°)= \frac{ \text{oposto}}{ \text{adjacente}}$
$latex \tan(36°)= \frac{ \frac{l}{2}}{a}$
$latex \tan(36°)= \frac{l}{2a}$
$latex a= \frac{l}{2\tan(36°)}$
onde, a representa o comprimento do apótema e l representa o comprimento de um dos lados do pentágono.
Exercícios de apótema de pentágonos resolvidos
A fórmula para o apótema de um pentágono é usada para resolver os exercícios a seguir. Cada exercício tem sua respectiva solução, mas é recomendável que você tente resolver os exercícios antes de olhar a resposta.
EXERCÍCIO 1
Qual é o comprimento do apótema de um pentágono que tem lados de 4 m?
Solução
Usamos a fórmula do apótema com $latex l = 4$. Então, temos:
$latex a= \frac{l}{2 \tan(36°)}$
$latex a= \frac{4}{2 \tan(36°)}$
$latex a= \frac{4}{1,453}$
$latex a=2,75$
O comprimento do apótema é 2,75 m.
EXERCÍCIO 2
O comprimento dos lados de um pentágono é de 5 m. Qual é o comprimento do apótema?
Solução
Temos que os lados têm um comprimento de $latex l = 5$. Então, usando esse valor na fórmula, temos:
$latex a= \frac{l}{2 \tan(36°)}$
$latex a= \frac{5}{2 \tan(36°)}$
$latex a= \frac{5}{1,453}$
$latex a=3,44$
O comprimento do apótema é 3,44 m.
EXERCÍCIO 3
Um pentágono tem lados com 10 m de comprimento. Qual é o comprimento do seu apótema?
Solução
Aqui, o comprimento dos lados do pentágono é $latex l = 10$. Então, substituindo esse valor na fórmula, temos:
$latex a= \frac{l}{2 \tan(36°)}$
$latex a= \frac{10}{2 \tan(36°)}$
$latex a= \frac{10}{1,453}$
$latex a=6,88$
O comprimento do apótema é 6,88 m.
EXERCÍCIO 4
Um pentágono tem um apótema de comprimento de 7,6. Qual é o comprimento de seus lados?
Solução
Neste caso, começamos com o comprimento do apótema e queremos saber o comprimento dos lados do pentágono. Portanto, usamos a fórmula com $latex a = 7,6$ e resolvemos para l:
$latex a= \frac{l}{2 \tan(36°)}$
$latex 7,6= \frac{l}{2 \tan(36°)}$
$latex 7,6= \frac{l}{1,453}$
$latex l= (7,6)(1,453)$
$latex a=11,04$
O comprimento das laterais é de 11,04 m.
EXERCÍCIO 5
O que é o comprimento dos lados de um pentágono que tem uma apótema com comprimento de 6 m?
Solução
Novamente, começamos com o comprimento do apótema e vamos encontrar o comprimento dos lados do pentágono. Portanto, usamos o valor $latex a = 6$ na fórmula e resolvemos para l:
$latex a= \frac{l}{2 \tan(36°)}$
$latex 6= \frac{l}{2 \tan(36°)}$
$latex 6= \frac{l}{1,453}$
$latex l= (6)(1,453)$
$latex a=8,72$
O comprimento dos lados é de 8,72 m.
Exercícios do apótema de pentágonos para resolver
Coloque em prática o uso da fórmula do apótema dos pentágonos para resolver os exercícios seguintes. Se precisar de ajuda, você pode consultar os exercícios resolvidos acima.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
