O apótema de qualquer polígono é igual à linha que conecta o centro do polígono a um de seus lados perpendicularmente. Usando o apótema, podemos calcular a área dos polígonos de uma maneira mais fácil. Podemos encontrar uma fórmula para o apótema de um octógono dividindo o octógono em oito triângulos congruentes e usando a trigonometria para determinar a altura de um dos triângulos, uma vez que é equivalente ao apótema.
A seguir, derivaremos uma fórmula para o apotema do octógono usando trigonometria. Além disso, vamos aplicar esta fórmula para resolver alguns exercícios.
Fórmula para o apótema de um octógono
Podemos encontrar uma fórmula para o apótema de um octógono usando trigonometria. Para isso, começamos dividindo o octógono em oito triângulos congruentes:
Vemos que o apótema divide o triângulo em dois pequenos triângulos retângulos. Podemos ver que a altura do triângulo é igual ao apótema, então podemos encontrar uma expressão para o apótema usando trigonometria. Precisamos encontrar a medida do ângulo central de um dos triângulos retângulos.
Sabemos que o ângulo central do octógono é igual a 360°. Além disso, sabemos que temos 16 pequenos triângulos retângulos, então o ângulo central de cada um é $latex 360 \div 16 = 22,5$°:
Agora que temos o ângulo, podemos usar a função tangente, que nos diz que a tangente do ângulo é igual ao lado oposto do lado adjacente. Então, temos:
$$\tan(22,5)=\frac{\text{oposto}}{\text{adjacente}}$$
$$\tan(22,5)=\frac{\frac{l}{2}}{a}$$
$$ \tan(22,5)=\frac{l}{2a}$$
| $$a=\frac{l}{2\tan(22,5)}$$ |
Exercícios de apótema de octógonos resolvidos
A fórmula do apótema do octógono é usada para resolver os exercícios a seguir. Cada exercício tem sua respectiva solução, mas é recomendável que você tente resolver os exercícios primeiro.
EXERCÍCIO 1
Um octógono tem lados de 4 m de comprimento. Qual é o seu apótema?
Solução
Usando a fórmula do apótema com o comprimento $latex l = 4$, temos:
$latex a=\frac{l}{2\tan(22,5°)}$
$latex a=\frac{4}{2\tan(22,5°)}$
$latex a=\frac{4}{0,828}$
$latex a=4,83$
O comprimento do apótema é 4,83 m.
EXERCÍCIO 2
Qual é o comprimento do apótema de um octógono com lados de 5 m?
Solução
Neste caso, temos o comprimento $latex l = 5$, então usamos a fórmula com este valor:
$latex a=\frac{l}{2\tan(22,5°)}$
$latex a=\frac{5}{2\tan(22,5°)}$
$latex a=\frac{5}{0,828}$
$latex a=6,04$
O comprimento do apótema é 6,04 m.
EXERCÍCIO 3
Um octógono tem lados de 9 m de comprimento. Qual é o seu apótema?
Solução
Podemos usar a fórmula do apótema com o comprimento $latex l = 9$. Então, temos:
$latex a=\frac{l}{2\tan(22,5°)}$
$latex a=\frac{9}{2\tan(22,5°)}$
$latex a=\frac{9}{0,828}$
$latex a=10,87$
O comprimento do apótema é 10,87 m.
EXERCÍCIO 4
Um octógono tem um apótema de 11,5 m de comprimento. Qual é o comprimento de seus lados?
Solução
Aqui, começamos com o comprimento do apótema e queremos encontrar o comprimento dos lados. Então, usamos a fórmula do apótema com $latex a = 11,5$ e resolvemos para l:
$latex a=\frac{l}{2\tan(22,5°)}$
$latex 11,5=\frac{l}{2\tan(22,5°)}$
$latex 11,5=\frac{l}{0,828}$
$latex l=11,5(0,828)$
$latex l=9,52$
O comprimento dos lados do octógono é de 9,52 m.
EXERCÍCIO 5
Qual é o comprimento dos lados de um octógono que possui um apótema de 15 m de comprimento?
Solução
Novamente, usamos a fórmula do apótema com $latex a = 15$ e resolvemos para l:
$latex a=\frac{l}{2\tan(22,5°)}$
$latex 15=\frac{l}{2\tan(22,5°)}$
$latex 15=\frac{l}{0,828}$
$latex l=15(0,828)$
$latex l=12,42$
O comprimento dos lados do octógono é de 12,42 m.
Exercícios do apótema de octógonos para resolver
Ponha em prática o uso da fórmula do apótema para resolver os exercícios seguintes. Se precisar de ajuda com isso, você pode consultar os exercícios resolvidos acima.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
