O perímetro de um octógono é o comprimento total de seu contorno. Por outro lado, a área é uma medida do espaço bidimensional ocupado pela figura. Podemos calcular o perímetro do octógono somando os comprimentos de seus oito lados e podemos calcular sua área multiplicando por quatro o produto de um de seus lados pelo seu apótema.
A seguir, aprenderemos tudo sobre o perímetro e a área de um octógono. Conheceremos suas fórmulas e as aplicaremos para resolver alguns exercícios práticos.
Como calcular o perímetro de um octógono?
Para calcular o perímetro de um octógono, temos que somar os comprimentos de seus oito lados. Assim, podemos usar a seguinte fórmula:
$$p=a+b+c+d+e+f+g+h$$
onde, $latex a,~b,~c,~d,~e,~f,~g,~h$ são os oito comprimentos dos lados do octógono.
Além disso, se tivermos um octógono regular, sabemos que os comprimentos de seus oito lados são os mesmos, então podemos multiplicar o comprimento de um de seus lados por oito para encontrar o perímetro:
| $latex p=8a$ |
onde, a é o comprimento de um dos lados do octógono regular.
Como calcular a área de um octógono?
Para calcular a área de um octógono, podemos multiplicar por 4 o produto do comprimento de um de seus lados e seu apótema. Assim, podemos usar a seguinte fórmula:
| $latex A=4la$ |
onde, l é o comprimento de um dos lados do octógono e a é o comprimento do apótema.
Prova da fórmula para a área de um octógono
A área de qualquer polígono pode ser encontrada dividindo-o em triângulos congruentes e calculando a área de cada triângulo. No caso dos octógonos, podemos dividir a figura em oito triângulos congruentes, conforme mostrado abaixo:
Agora, lembramos que a área de qualquer triângulo pode ser calculada usando a fórmula $latex A=\frac{1}{2}bh$, onde b é o comprimento da base e h é o comprimento da altura.
No diagrama, podemos ver que a altura do triângulo é igual ao apótema do octógono e a base do triângulo é igual ao comprimento de um de seus lados, então temos $latex A=\frac{1} {2} la $.
Como temos oito triângulos congruentes, podemos multiplicar por oito para obter a seguinte fórmula:
$latex A=4la$
Calcular a área de um octógono sem usar o apótema
Podemos calcular a área de um octógono regular sem usar o comprimento de seu apótema. Para isso, podemos obter uma fórmula para a área de um octógono regular apenas em termos de seus lados.
Usando trigonometria e simplificando, podemos encontrar a seguinte fórmula:
| $latex A=2(1+\sqrt{2}){{l}^2}$ |
onde, l é o comprimento de um dos lados do octógono.
Área e perímetro de um octógono – Exercícios resolvidos
EXERCÍCIO 1
Qual é o perímetro de um octógono regular com lados de 5 cm de comprimento?
Solução
Aplicando a fórmula do perímetro com o comprimento $latex a=5$, temos:
$latex p=8a$
$latex p=8(5)$
$latex p=40$
O perímetro do octógono é igual a 40 cm.
EXERCÍCIO 2
Encontre a área de um octógono regular com lados de 5 mm de comprimento e um apótema de 6,04 mm.
Solução
Temos os seguintes comprimentos
- Lados, $latex l=5$ mm
- Apothem, $latex a=6,04$ mm
Usando esses comprimentos na fórmula da área, temos:
$latex A=4la$
$latex A=4(5)(6,04)$
$latex A=120,8$
A área do octógono é igual a 120,8 mm².
EXERCÍCIO 3
Qual é o perímetro de um octógono regular com lados de 8 m de comprimento?
Solução
Usando o comprimento $latex a=8$ na fórmula do perímetro do octógono, temos:
$latex p=8a$
$latex p=8(8)$
$latex p=64$
O perímetro do octógono é igual a 64 m.
EXERCÍCIO 4
Encontre a área de um octógono regular com lados de 6 cm de comprimento e um apótema de 7,24 cm.
Solução
Temos o seguinte:
- Lados, $latex l=6$ cm
- Apothem, $latex a=7,24$ cm
Usando esses comprimentos na fórmula da área, temos:
$latex A=4la$
$latex A=4(6)(7,24)$
$latex A=173,76$
A área do octógono é igual a 173,76 cm².
EXERCÍCIO 5
Encontre o perímetro de um octógono regular com lados de 15 mm de comprimento.
Solução
Temos o comprimento $latex a=15$. Usando este valor na fórmula do perímetro, temos:
$latex p=8a$
$latex p=8(15)$
$latex p=120$
O perímetro do octógono é de 120 m.
EXERCÍCIO 6
Encontre a área de um octógono regular com lados de 11 m de comprimento e um apótema de 13,28 m.
Solução
Temos os seguintes comprimentos:
- Lados, $latex l=11$ m
- Apotema, $latex a=13,28$ m
Aplicando esses valores na fórmula da área, temos:
$latex A=4la$
$latex A=4(11)(13,28)$
$latex A=584,32$
A área do octógono é igual a 584,32 m².
EXERCÍCIO 7
Encontre o comprimento dos lados de um octógono regular com um perímetro de 112 cm.
Solução
Neste caso, conhecemos o perímetro do octógono e queremos encontrar o comprimento dos lados do octógono. Então, usamos a fórmula do perímetro e resolvemos para a:
$latex p=8a$
$latex 112=8a$
$latex a=14$
O comprimento dos lados do octógono é de 14 cm.
EXERCÍCIO 8
Encontre a área de um octógono regular com lados de 8 m de comprimento.
Solução
Neste caso, temos apenas o comprimento de um lado do octógono, então podemos usar a fórmula da segunda área com $latex l=8$:
$latex A=2(1+\sqrt{2}){{l}^2}$
$latex A=2(1+\sqrt{2}){{(8)}^2}$
$latex A=2(1+\sqrt{2})(64)$
$latex A=309,02$
A área do octógono é igual a 309,02 m².
EXERCÍCIO 9
Qual é o comprimento dos lados de um octógono regular com um perímetro de 152 mm?
Solução
Usando a fórmula do perímetro com $latex p=152$ e resolvendo para a, temos:
$latex p=8a$
$latex 152=8a$
$latex a=19$
O comprimento dos lados do octógono é igual a 19 mm.
EXERCÍCIO 10
Encontre a área de um octógono regular com lados com comprimento de 10 m.
Solução
Podemos usar a fórmula da segunda área com $latex l=10$:
$latex A=2(1+\sqrt{2}){{l}^2}$
$latex A=2(1+\sqrt{2}){{(10)}^2}$
$latex A=2(1+\sqrt{2})(100)$
$latex A=482,84$
A área do octógono é igual a 482,84 m².
Área e perímetro de um octógono – Exercícios para resolver
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
