O apótema de um heptágono é a linha que conecta o centro do hexágono com um lado do heptágono perpendicularmente. O apótema também pode ser considerado como o comprimento da linha que une o centro do heptágono ao centro de um dos lados. Conhecendo o comprimento do apótema, podemos encontrar a área dos polígonos regulares usando uma fórmula mais simples.
O comprimento do apótema pode ser calculado dividindo o heptágono em sete triângulos congruentes. Então, podemos usar um dos triângulos em conjunto com a trigonometria para obter uma fórmula. A seguir, derivaremos uma fórmula para o apótema de um heptágono. Além disso, resolveremos alguns exercícios nos quais aplicaremos esta fórmula.
Fórmula para o apótema de um heptágono
O apótema de um heptágono é a linha que conecta o centro do heptágono com um de seus lados perpendicularmente. Uma maneira de calcular o comprimento dessa linha é usar trigonometria. Para isso, começamos dividindo o heptágono em sete triângulos congruentes como na imagem a seguir:
Podemos ver que o apótema é igual à altura de um dos triângulos formados. Esta linha divide a base em duas partes iguais. Além disso, ele também divide o triângulo em dois triângulos retângulos congruentes.
Podemos determinar o ângulo central de um dos pequenos triângulos retângulos para usar a trigonometria e encontrar o comprimento do apótema.
Sabemos que o ângulo central total do heptágono é 360°. Além disso, sabemos que temos 14 pequenos triângulos retângulos, então o ângulo central de cada um é $latex 360 \div 14 = 25,71$°:
Podemos usar a função tangente, que nos diz que a tangente de um ângulo é igual ao lado oposto do lado adjacente:
$$\tan(25,71)=\frac{\text{oposto}}{\text{adjacente}}$$
$$\tan(25,71)=\frac{\frac{l}{2}}{a}$$
$$\tan(25,71)=\frac{l}{2a}$$
| $$a=\frac{l}{2\tan(25,71)}$$ |
onde, l é o comprimento de um dos lados do heptágono.
Exercícios de apótema de heptágonos resolvidos
A fórmula do apótema dos heptágonos é usada para resolver os seguintes exercícios. Cada exercício tem a sua respectiva solução, mas é aconselhável tentar resolver os exercícios antes de procurar a solução.
EXERCÍCIO 1
Um heptágono tem lados de 5 m de comprimento. Qual é a duração de seu apótema?
Solução
Podemos usar a fórmula apótema com o comprimento $latex l=5$. Então, temos:
$latex a=\frac{l}{2\tan(25,71)}$
$latex a=\frac{5}{2\tan(25,71)}$
$latex a=5,19$
O comprimento do apótema é 5,19 m.
EXERCÍCIO 2
Qual é o comprimento do apótema de um heptágono que tem lados de 9 m?
Solução
Usamos o comprimento $latex l = 9$ na fórmula apótema. Então, temos:
$latex a=\frac{l}{2\tan(25,71)}$
$latex a=\frac{9}{2\tan(25,71)}$
$latex a=9,35$
O comprimento do apótema é de 9,35 m.
EXERCÍCIO 3
Um heptágono tem lados de 12 m de comprimento. Qual é o seu apótema?
Solução
Temos o comprimento $latex l=12$. Usando a fórmula do apótema, temos:
$latex a=\frac{l}{2\tan(25,71)}$
$latex a=\frac{12}{2\tan(25,71)}$
$latex a=12,46$
O comprimento do apótema é de 12,46 m.
EXERCÍCIO 4
Um heptágono tem um apótema de comprimento de 7,5 m. Qual é o comprimento de seus lados?
Solução
Neste caso, começamos com o comprimento do apótema e queremos encontrar o comprimento dos lados do heptágono. Então, usamos $latex a = 7,5$ e resolvemos para l:
$latex a=\frac{l}{2\tan(25,71)}$
$latex 7,5=\frac{l}{2\tan(25,71)}$
$latex 7,5=\frac{l}{0,963}$
$latex l=7,5(0,963)$
$latex l=7,22$
O comprimento dos lados do heptágono é de 7,22 m.
EXERCÍCIO 5
Qual é o comprimento dos lados de um heptágono que possui uma apótema de 20 m de comprimento?
Solução
Novamente, temos o comprimento do apótema e vamos encontrar o comprimento dos lados do heptágono. Então, usamos $latex a = 20$ e resolvemos para l:
$latex a=\frac{l}{2\tan(25,71)}$
$latex 20=\frac{l}{2\tan(25,71)}$
$latex 20=\frac{l}{0,963}$
$latex l=20(0,963)$
$latex l=19,26$
O comprimento dos lados do heptágono é de 19,26 m.
Exercícios do apótema de heptágonos para resolver
Use os exercícios a seguir para praticar a aplicação da fórmula para o apótema dos heptágonos. Selecione uma resposta e clique em “Verificar” para verificar se você escolheu a resposta correta.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
