Produto vetorial de dois vetores – Exercícios resolvidos

Dispomos das seguintes informações:

• Magnitude de $latex \vec{A}$: $latex ~A=8$
• Magnitude de $latex \vec{B}$: $latex ~B=6$
• Ângulo entre vetores: $latex ~\theta=30^{\circ}$

Assim, podemos usar a seguinte fórmula para encontrar a magnitude do vetor $latex \vec{C}$:

$latex C=AB\sin(\theta)$

$latex =(8)(6)\sin(30^{\circ})$

$latex =24$

Para encontrar a direção do vetor $latex \vec{C}$, usamos o seguinte diagrama e a regra da mão direita:

Pela regra da mão direita, a direção de $latex \vec{A}\times \vec{B}$ é ao longo de $latex +z$ ou na direção $latex \hat{k}$. Então,

$latex \vec{C}=\vec{A}\times \vec{B}=24\hat{k}$

Neste caso, conhecemos os componentes de ambos os vetores. Assim, podemos encontrar os componentes do produto vetorial usando a seguinte fórmula:

$latex C_{x}=A_{y} B_{z} – A_{z} B_{y}$

$latex C_{y}=A_{z} B_{x}-A_{x} B_{z}$

$latex C_{z} =A_{x} B_{y} – A_{y} B_{x}$

onde $latex \vec{C}=\vec{A} \times \vec{B}$. Então:

$latex \vec{A} \times \vec{B} = ((-3)(-2) – (4)(5))\hat{i} +( (4)(1)-(2)(-2))\hat{j} + ((2) (5) – (-3) (1))\hat{k}$

$latex \vec{A} \times \vec{B}=-14\hat{i} + 8\hat{j} + 13\hat{k}$

Podemos observar o seguinte:

• Magnitude de $latex \vec{A}$: $latex ~A=10$
• Magnitude de $latex \vec{B}$: $latex ~B=12$
• Ângulo entre vetores: $latex ~\theta=60^{\circ}$

Semelhante ao exercício 1, podemos usar a seguinte fórmula para encontrar a magnitude do vetor $latex \vec{C}$:

$latex C=AB\sin(\theta)$

$latex =(10)(12)\sin(60^{\circ})$

$latex =103,92$

Usando o diagrama dado e a regra da mão direita, podemos determinar que a direção de $latex \vec{A}\times \vec{B}$ é $latex \hat{k}$. Então,

$latex \vec{C}=\vec{A}\times \vec{B}=103,92\hat{k}$

Vamos usar as seguintes fórmulas para encontrar os componentes do produto vetorial:

$latex R_{x}=C_{y} D_{z} – C_{z} D_{y}$

$latex R_{y}=C_{z} D_{x}-C_{x} D_{z}$

$latex R_{z} =C_{x} D_{y} – C_{y} D_{x}$

Então, temos:

$latex \vec{C} \times \vec{D} = ((0)(2) – (-7)(6)) \hat{i} +((-7)(-4)-(3)(2) )\hat{j} + ((3)(6) – (0)(-4))\hat{k}$

$latex \vec{A} \times \vec{B}=42 \hat{i} +22 \hat{j} +18\hat{k}$

Usamos as seguintes fórmulas para encontrar os componentes do produto vetorial:

$latex R_{x}=A_{y} B_{z} – A_{z} B_{y}$

$latex R_{y}=A_{z} B_{x}-A_{x} B_{z}$

$latex R_{z} =A_{x} B_{y} – A_{y} B_{x}$

Então temos:

$latex \vec{A} \times \vec{B} = ((-2)(-1) – (3)(4)) \hat{i} +((3)(1)-(5)(-1))\hat{j} + ((5)(4) – (-2)(1))\hat{k}$

$latex \vec{A} \times \vec{B}=-10 \hat{i} +8 \hat{j} +22\hat{k}$

Usando as informações fornecidas, podemos aplicar a fórmula do produto vetorial para encontrar a magnitude de $latex \vec{R}$:

$latex R=KL\sin(\theta)$

$latex =(3)(4)\sin(60^{\circ})$

$latex =12\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$latex = 6\sqrt{3}$

Considere que esta é apenas a magnitude; para encontrar a direção do produto vetorial, precisaríamos das direções dos dois vetores dados.

Com as informações dadas, aplicamos a fórmula para a magnitude do produto vetorial da seguinte forma:

$latex R=MN\sin(\theta)$

$latex =(5)(7)\sin(45^{\circ})$

$latex= 35\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$latex = \dfrac{35\sqrt{2}}{2}$

Semelhante ao exercício anterior, precisamos de mais informações sobre os vetores para determinar a direção do produto vetorial.

Usamos os dados fornecidos na fórmula para a magnitude do produto vetorial:

$latex R=AB\sin(\theta)$

$latex =(8)(6)\sin(120^{\circ})$

$latex= 48\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$latex = 24\sqrt{3}$

Para determinar a direção do produto vetorial, precisamos das direções dos vetores dados.

Como conhecemos as componentes dos vetores, podemos usar as seguintes fórmulas para encontrar as componentes do vetor resultante do produto vetorial:

$latex R_{x}=A_{y} B_{z} – A_{z} B_{y}$

$latex R_{y}=A_{z} B_{x}-A_{x} B_{z}$

$latex R_{z} =A_{x} B_{y} – A_{y} B_{x}$

Usando os valores dados, temos:

$latex \vec{A} \times \vec{B} = ((-3)(-5) – (1)(4)) \hat{i} +((1)(2)-(6)(-5))\hat{j} + ((6)(4) – (-3)(2))\hat{k}$

$latex \vec{A} \times \vec{B}=11 \hat{i} +32\hat{j} +30\hat{k}$

Vamos começar encontrando o produto vetorial $latex \vec{A}\times \vec{B}$:

$latex \vec{A}\times \vec{B}=((−3)(−3) − (2)(1))\hat{i} + ((1)(1) − (−3)(2))\hat{j} ++((2)(2) − (1)(−3))\hat{k}$

$latex =7\hat{i} +7\hat{j} + 7\hat{k}$

Para mostrar que $latex \vec{A}\times \vec{B}$ é perpendicular a $latex \vec{A}$, devemos ter $latex (\vec{A}\times \vec{B})\ cdot \vec{A}=0$:

$$(\vec{A}\times \vec{B})\cdot \vec{A}=\begin{pmatrix} 7 \\ 7 \\ 7 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$$

$latex = 14 − 21 + 7 = 0$

Para mostrar que $latex \vec{A}\times \vec{B}$ é perpendicular a $latex \vec{B}$, devemos ter $latex (\vec{A}\times \vec{B})\ cdot \vec{B}=0$:

$$(\vec{A}\times \vec{B})\cdot \vec{B}=\begin{pmatrix} 7 \\ 7 \\ 7 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}$$

$latex = 7+14-21 = 0$