Produto escalar de dois vetores – Exercícios resolvidos

Temos as seguintes informações:

• $latex |A|=5$
• $latex |B|=3$
• $latex \theta=45^{\circ}$

Para encontrar o produto escalar usando as magnitudes e o ângulo, podemos usar a seguinte fórmula:

$latex \vec{A} \cdot \vec{B} = |A| ~|B| \cos(\theta)$

$latex = 5 \times 3 \cos(45^{\circ}) $

$$= 15 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $$

$$\approx 10,61$$

Podemos observar o seguinte:

• $latex |C|=4$
• $latex |D|=6$
• $latex \theta=120^{\circ}$

Utilizamos a mesma fórmula que no exercício anterior para encontrar o produto escalar:

$latex \vec{C} \cdot \vec{D} = |C| ~|D| \cos(\theta)$

$latex = 4 \times 6 \cos(120^{\circ}) $

$$= 24 \left(-\frac{1}{2}\right) $$

$$= -12$$

Podemos observar o seguinte:

• $latex |E|=7$
• $latex |F|=2$
• $latex \theta=90^{\circ}$

Uma vez que o ângulo entre os vectores E e F é de 90°, cos(90°) = 0, então o produto escalar será zero:

$latex \vec{E} \cdot \vec{F} = |E| ~|F| \cos(\theta)$

$latex = 7 \times 2 \cos(90^{\circ}) $

$$= 14 \left(0\right) $$

$$= 0$$

O produto escalar de dois vectores A e B pode ser encontrado com a seguinte fórmula:

$latex \vec{A} \cdot \vec{B} = A_{x} \times B_{x} + A_{y} \times B_{y} + A_z \times B_{z}$

onde $latex A_{x},~ A_{y},~ A_{z}$ são os componentes do vetor $latex \vec{A}$, e $latex B_{x},~ B_{y},~ B_ {z}$ são os componentes do vetor $latex \vec{B}$.

Assim, o produto escalar de $latex \vec{A}$ e $latex \vec{B}$ é:

$latex \vec{A} \cdot \vec{B} = (2 \times -1) + (3 \times 4) + (1 \times 2)$

$latex = -2 + 12 + 2 = 12$

Aplicamos a mesma fórmula do exercício anterior. Então temos:

$latex \vec{A} \cdot \vec{B} = A_{x} \times B_{x} + A_{y} \times B_{y} + A_z \times B_{z}$

$latex \vec{A} \cdot \vec{B} = (5 \times -3) + (4 \times 0) + (2 \times 3)$

$latex = -15 + 0 + 6$

$latex = -9$

Aplicamos a fórmula do produto escalar de dois vectores utilizando os componentes dados:

$latex \vec{C} \cdot \vec{D} = C_{x} \times D_{x} + C_{y} \times D_{y} + C_z \times D_{z}$

$latex C \cdot D = (4 \times 1) + (-5 \times 2) + (6 \times 3)$

$latex = 4 – 10 + 18 $

$latex = 12$

Para encontrar o produto escalar de dois vetores $latex \vec{E}$ e $latex \vec{F}$ usando seus componentes, podemos usar a seguinte fórmula:

$latex \vec{E} \cdot \vec{F} = E_{x} \times F_{x} + E_{y} \times F_{y} + E_z \times F_{z}$

$latex \vec{E} \cdot \vec{F} = (-3 \times 5) + (7 \times 2) + (1 \times 4)$

$latex = -15 + 14 + 4 $

$latex = 3$

Podemos encontrar o produto escalar dos vetores da seguinte forma:

$latex \vec{G} \cdot \vec{H} = G_{x} \times H_{x} + G_{y} \times H_{y} + G_z \times H_{z}$

$latex \vec{G} \cdot \vec{H} = (3 \times 1) + (-2 \times 2) + (4 \times -2)$

$latex = 3 – 4 – 8$

$latex = -9$

Aplicamos a fórmula do produto escalar de dois vetores usando os componentes:

$latex \vec{I} \cdot \vec{J} = I_{x} \times J_{x} + I_{y} \times J_{y} + I_z \times J_{z}$

$latex \vec{I} \cdot \vec{J} = (7 \times -2) + (1 \times 6) + (-3 \times 5)$

$latex = -14 + 6 – 15$

$latex = -23$

Para encontrar o ângulo θ entre dois vetores C e D, podemos usar a seguinte fórmula:

$$\cos(\theta) = \frac{\vec{C} \cdot \vec{D}}{ |C|~|D|}$$

onde $latex \vec{C} \cdot \vec{D}$ é o produto escalar de $latex \vec{C}$ e $latex \vec{D}$, e |C| e |D| são as magnitudes dos vetores.

Primeiro, calculamos o produto escalar:

$latex \vec{C} \cdot \vec{D} = (1 \times 0) + (1 \times -1) + (0 \times 1) = -1$

Agora, calculamos as magnitudes:

$latex |C| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$

$latex |D| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

Em seguida, calculamos cos(θ):

$$\cos(\theta) = \frac{-1}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}$$

$$ = -\frac{1}{2}$$

Finalmente, encontramos o ângulo θ:

$latex \theta = \text{arccos}(-\frac{1}{2}) \approx 120^{\circ}$