Exercícios de MRUV (Movimento Retilíneo Uniformemente Variado)

Aceleração é a mudança na velocidade por unidade de tempo. Como sabemos que se trata de um movimento retilíneo uniformemente variado, então a aceleração é calculada tomando a diferença entre a velocidade final menos a velocidade inicial e dividindo pelo período durante o qual o movimento ocorreu:

$$a=\dfrac{V_f-V_i}{\Delta t}$$

A velocidade final do carro é $latex V_f=36 \dfrac{km}{h}$ que é equivalente a:

$$V_f=\dfrac{36}{3,6} \dfrac{m}{s}=10 \dfrac{m}{s}$$

Então, a aceleração do carro durante seu movimento foi:

$$a= \dfrac{(10 \frac{m}{s} – 0 \frac{m}{s})}{4 s}= \dfrac{10 \frac{m}{s}}{4 s} = 2,5 \dfrac{m}{s^2}$$

Num movimento retilíneo com aceleração constante (MRUV), a posição muda com o tempo conforme a seguinte equação quadrática:

$$ x(t) = x_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2$$

No nosso caso tomamos a posição inicial do carro como $latex x_0=0$ e a velocidade inicial como $latex v_0=0$. A aceleração $latex a=2,5 \frac{m}{s^2}$. Então a distância percorrida no $latex 4s$ é:

$$x(4)=\frac{1}{2} 2,5 \cdot 4^2=20 m$$

A relação entre posição e tempo é dada por:

$$ x(t) = x_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2$$

Mas, neste exercício temos que ter $latex x_0=0 \; e \; v_0=0$ então a fórmula é simplificada para:

$$ x(t) = \frac{1}{2} a \cdot t^2$$

Sabe-se também que em um determinado momento $latex t$ a posição é $latex x(t)=d=10m$. Resolvendo o tempo da fórmula anterior temos:

$$ t=\sqrt{\dfrac{2d}{a}}$$

Então, o tempo necessário para percorrer os primeiros 10 metros é: $$t=\sqrt{ \frac{2 \cdot 10}{2,5} }=2,828 s$$

Também nos perguntam a velocidade do carro no momento em que percorreu os primeiros 10 metros. Para isso utilizamos a seguinte relação entre velocidade e tempo:

$$ v(t)=v_0+a \cdot t$$

Então a velocidade, para esse instante, é: $$ v(2,83)=0 + 2,5 \cdot 2,828=7,07 \frac{m}{s}$$

Consideramos o semáforo como posição zero e o instante zero como o momento em que o semáforo muda. Nesse caso, a posição do carrinho como uma função do tempo é dada por:

$$x_c(t)=V_c \cdot t$$

Enquanto a posição da bicicleta em função do tempo é:

$$x_m(t)= \frac{1}{2} a \cdot t^2$$

No instante do encontro, que chamaremos de $latex t^*$, os dois veículos terão a mesma posição:

$$ x_c(t^*)=x_m(t^*)$$

Ou seja, para esse instante, a seguinte igualdade é satisfeita:

$$V_c \cdot t^* = \frac{1}{2}a \cdot {t^*}^2 $$

Isso significa que:

$$ t^* = \dfrac{2 V_c}{a}$$

Ao colocar os valores numéricos correspondentes, obtemos:

a) $$ t^* = \dfrac{2 \cdot 14 \frac{m}{s}}{2,4 \frac{m}{s^2}}=11,667s$$

À medida que a motocicleta acelera, sua velocidade aumenta linearmente com o tempo, de acordo com a seguinte fórmula:

$$ v_m(t)= a \cdot t$$

No instante em que a motocicleta alcançar o carro, sua velocidade será:

b) $$ v_m(t^*)= a \cdot t^*= 2,4 \frac{m}{s^2} \cdot 11,667s =28 \frac{m}{s} $$

Após $latex t^*=11,667s$, tanto a motocicleta quanto o carro estão à mesma distância do semáforo, que é dada por:

c) $$ x_c(t^*)=V_c \cdot t^*= 14 \frac{m}{s} \cdot 11,667s = 163,34 m $$

Antes de calcular a aceleração, convertemos a velocidade de saída da bola em $latex \frac{m}{s}$:

$$250 \dfrac{km}{h}=250 \dfrac{10^3 m}{3600 s}= \dfrac{250}{3,6} \dfrac{m}{s}=69,44 \frac{m}{s}$$

Vamos supor que a aceleração da bola foi constante, desde o momento em que ela entrou em contato com a raquete até o momento em que ela saiu da raquete.

Nesse caso, a aceleração é calculada pelo quociente da alteração na velocidade dividido pelo intervalo de tempo durante o qual a alteração na velocidade ocorreu:

$$a = \dfrac{\Delta V}{\Delta t}= \dfrac{69,44 \frac{m}{s}}{0,030 s}=2314,8 \frac{m}{s^2}$$

Esta é uma aceleração enorme, se compararmos com a aceleração da gravidade, que é a aceleração com que um objeto lançado cai, que é $latex g=9,8 \frac{m}{s^2}$. A aceleração da bola foi 236 vezes maior que a aceleração da gravidade:

$$a=236g$$

Essa é uma aceleração enorme, considerando que os pilotos de caça perdem momentaneamente a consciência quando submetidos a acelerações entre $latex 3g$ e $latex 4g$. Em $latex 35g$, as costelas se quebram.

Primeiramente, convertemos de km/h para m/s:

$$100 \frac{km}{h}=\dfrac{100}{3,6} \frac{m}{s}=27,77 \frac{m}{s}$$

Em seguida, a aceleração é calculada da seguinte forma:

$$a = \dfrac{\Delta V}{\Delta t}= \dfrac{27,77 \frac{m}{s}}{2,8 s}=9,92 \frac{m}{s^2}$$

Comparada com a aceleração da gravidade, que é $latex 9,8 \frac{m}{s^2}$, a aceleração de F1 é apenas um centésimo maior:

$$a= 1,01g$$

Nos primeiros 2,8 segundos, o F1 percorre uma distância dada por:

$$d= 0,5 \cdot a \cdot t^2= 0,5 \cdot 9,92 \frac{m}{s^2} \cdot (2,8 s)^2 = 39 m $$

O ciclista inicia seu movimento com uma velocidade de 3 m/s, que ele mantém por 3 segundos. Em seguida, ele começa a frear e, em 2 segundos, passa de uma velocidade de 3 m/s para uma velocidade de 0 m/s.

A distância percorrida nos primeiros 3 s é a área sob o retângulo: $latex d_1 = v \cdot t = 3 m/s \cdot 3 s = 9m$.

Nos próximos 2 segundos, a distância percorrida é a área sob o triângulo: $latex d_2 = ( 3 m/s \cdot  2 s)/2 = 3m$.

A distância total percorrida, desde o início do movimento até a sua parada, é: $latex d= d_1+ d_2= 12m$.

Entre 3s e 5s a velocidade do ciclista diminui uniformemente, a uma taxa de 3 m/s em 2 s. Isso significa que sua aceleração é:

$$ a=\dfrac{V_f-V_i}{t_f-t_i}=\dfrac{0 m/s – 3 m/s}{5 s – 3 s}= \dfrac{-3 m/s}{2 s}= -1,5 \frac{m}{s^2}$$

O sinal negativo indica que a aceleração está na direção oposta à velocidade (que foi considerada como a direção positiva). Portanto, entre 3s e 5s, o ciclista diminui sua velocidade a uma taxa de 1,5 m/s em cada segundo.

Para construir o gráfico, precisamos saber quanto tempo leva para atingir 20 m/s. Para isso, usaremos a seguinte expressão:

$$V(t)=V_0 + a \cdot t$$

Sabemos que $latex V(t)=20 m/s$, a velocidade inicial $latex V_0=0$ e que a aceleração é $latex a=2 m/s^2$. Portanto, devemos resolver o tempo, $latex t$:

$$t= \dfrac{V(t)}{a}=\dfrac{20 m/s}{2 m/s^2}= 10 s$$

O carro mantém a velocidade alcançada por mais 2 segundos. A partir daí ele começa a frear com aceleração $latex a=-1 m/s^2$, isso levará um período de tempo $latex \Delta t$ dado por:

$$ \Delta t= \dfrac{0 m/s – 20 m/s}{-1 m/s^2}= 20 s$$

Com esses dados, podemos construir o gráfico velocidade – tempo:

O carro ficou em movimento por 32 segundos.

A distância total percorrida é a área sob o gráfico v-t, que pode ser calculada em três seções, como segue:

$$ d_1= \dfrac{ 20 m/s \cdot 10 s}{2}=100 m$$

$$ d_2= 20 m/s \cdot 2 s = 40 m$$

$$ d_3= \dfrac{20 m/s \cdot 20 s}{2}=200m$$

A distância total percorrida pelo carro elétrico foi:

$$ d= d_1+d_2+d_3= 100m + 40m + 200m = 340 m$$

A equação que fornece a posição do carro como uma função do tempo é

$$x_a(t)= \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{m}{s^2} \cdot t^2$$

e a posição do caminhão em qualquer instante $latex t$ é:

$$x_c(t)= 10 \frac{m}{s} \cdot t$$

Se chamarmos de $latex t_e$ o instante do encontro, então é certo que, nesse instante, as posições do carro e do caminhão são iguais:

$$x_a(t_e)=x_c(t_e) \Rightarrow {t_e}^2=10 t_e$$

As soluções desta equação são: $latex t_e=0$ e $latex t_e=10s$. A primeira é quando o caminhão ultrapassa o carro no semáforo e a segunda é quando o carro ultrapassa o caminhão, que é a solução que nos interessa.

Ou seja, o carro alcança o caminhão em $latex 10s$ a uma distância de

$$ x_a(10s)=10^2 m= 100m$$

Nesse instante, o carro tem uma velocidade dada por:

$$V_a(t_e) = 2 \frac{m}{s^2} \cdot 10 s = 20 \frac{m}{s}$$

Em primeiro lugar, dizem-nos que o objeto segue o MRUV, ou seja, move-se com aceleração constante $latex a$. Também consideramos intervalos de tempo fixos de $latex \Delta t=2s$. No primeiro período o objeto se move $latex \Delta x_1=55m$, no segundo período (também 2s) o objeto se move $latex \Delta x_2=77m$.

A relação entre essas quantidades é a seguinte:

$$ \Delta x_1=V_{01} \cdot \Delta t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot {\Delta t}^2 \; ; \; (eq.1)$$

$$ \Delta x_2=V_{02} \cdot \Delta t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot {\Delta t}^2 \; ; \; (eq.2)$$

Onde $latex V_{01}$ é a velocidade inicial na primeira perna, enquanto $latex V_{02}$ é a velocidade inicial na segunda perna. Entretanto, a velocidade inicial da segunda perna é a velocidade final da primeira perna, o que nos leva a escrever a seguinte relação:

$$ V_{02} = V_{01} + a \cdot \Delta t \; ; \; (eq.3)$$

Substituindo a expressão acima na equação que fornece o deslocamento da segunda seção, ficamos com a seguinte equação, depois de operar e simplificar:

$$ \Delta x_2=V_{01} \cdot \Delta t + \frac{3}{2} \cdot a \cdot {\Delta t}^2 \; ; \; (eq.4)$$

Subtraindo (eq.4) menos (eq.1), ficamos com:

$$ 22= a \cdot {\Delta t}^2=a \cdot 2^2 \; \Rightarrow \; a=\frac{11}{2} $$

Então, usando (eq.1), podemos obter $latex V_{01}$:

$$ 55=V_{01} \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{2} \cdot 2^2 \; \Rightarrow \; V_{01}=22 $$

Agora estamos prontos para calcular a distância percorrida pelo objeto no terceiro intervalo de 2 segundos. Faremos isso calculando o deslocamento total que o objeto teve em $latex 3 \cdot \Delta t = 6 s$:

$$ \Delta x(6s)= V_{01} \cdot 6s + \frac{1}{2} \cdot a \cdot {6s}^2= 22 \cdot 6 + \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{2} \cdot 6^2=231m$$

Então, no terceiro lapso de 2 segundos, ele percorreu uma distância de $latex 231 -(55+77) = $99m.

Em resumo, sobre o objeto não identificado, descobrimos que sua aceleração é $latex \frac{11}{2} \frac{m}{s^2}$, que seu movimento começa com uma velocidade de $latex 22 \frac{m}{s}$ e que a cada 2 segundos ele se move na seguinte sequência:

$$ 55m; \; 77m; \; 99m$$