Exercícios sobre movimento retilíneo uniforme

Como a aeronave voa diretamente em uma linha reta de A a B e mantém sua velocidade constante, a equação do movimento retilíneo uniforme é aplicável nesse caso:

$$ x(t)=x_0 + v\cdot t$$

A posição inicial é $latex x_0 =0$, a velocidade do avião é $latex v=830\hspace{1 mm}\frac{km}{h}$ e o tempo é $latex t=210\hspace{1mm } minutos$. Antes de substituir os valores na fórmula é necessário expressar o tempo em horas, pois é solicitada a distância que separa as cidades em quilômetros. Portanto:

$$210\hspace {1 mm}minutos=210\times \frac{1\hspace{1mm} hora}{60\hspace{1 mm} minutos}=3,5\hspace{1 mm}horas$$

Então:

$$ x(t)=v\cdot t$$

$$ x(3,5)=830\hspace{1 mm}\frac{km}{h}\times 3,5\hspace{1 mm}h=2905\hspace{1mm}km$$

As cidades A e B estão separadas por $latex 2905\hspace{1mm}km$.

Vamos supor, por simplicidade, que o movimento dos continentes seja retilíneo uniforme. A partir de sua equação:

$$ x(t)=x_0 + v\cdot t$$

Temos:

$$\Delta x = x-x_0$$

Cujo valor, segundo o comunicado, é:

$$\Delta x = x-x_0=500\hspace{1mm}km$$

$$\Delta x = v\cdot t$$

Resolvendo para o tempo $latex t$, obtemos:

$$t=\frac{\Delta x}{v}$$

Antes de fazer a substituição, é necessário verificar se as unidades são homogêneas. Os quilômetros podem ser expressos em centímetros, ou os centímetros em quilômetros, usando a notação científica.

De qualquer forma, o tempo será em anos:

$$t=\frac{\Delta x}{v}=\frac{5\times 10^7\hspace{1mm}cm}{3\hspace{1mm}\dfrac{cm}{ano}}=1,7\times 10^7\hspace{1mm}anos$$

Um milhão de anos é $latex 1\times 10^6\hspace{1mm}anos$, então os continentes terão se afastado 500 km um do outro após cerca de 17 milhões de anos.

Começando com a equação:

$$ x(t)=x_0 + v\cdot t$$

Os valores $latex x_0= 4\hspace{1mm}m$, $latex v = -10\hspace{1mm}m/s$ e $latex t= 5\hspace{1mm} s$ são tomados e esses valores ​​são substituídos para obter a equação da posição.

O sinal negativo na velocidade é porque o objeto está se movendo em uma direção negativa, de acordo com o enunciado:

$$ x(t)=4 -10\cdot t$$

Após t=5 s, o objeto estará:

$$ x(5)=4\hspace{1mm}m – \left(10\hspace{1mm}\frac{m}{s}\times5\hspace{1mm} s\right)=-46\hspace{1mm}m$$

Portanto, após t=5 s, o objeto estará:

$$ x(5)=-46\hspace{1mm}m$$

A partir da equação do movimento retilíneo uniforme, o tempo é removido:

$$ x(t)=v\cdot t\Rightarrow t=\frac{x}{v}$$

Antes de substituir valores numéricos, você precisa ter certeza de que as unidades correspondem, para que você possa usar a velocidade da luz como $latex c=300000\hspace{1 mm}km/$, para que o tempo calculado esteja em segundos:

$$ t=\frac{x}{v}=\frac{150000000\hspace{1 mm}km}{300000\hspace{1mm}\dfrac{km}{s}}=500 \hspace{1mm}s=8,33\hspace{1 mm} minutos$$

A luz que vemos do Sol levou aproximadamente 8 minutos para chegar à Terra.

a) De acordo com as informações do enunciado, a posição inicial da partícula é $latex x_0=4\hspace{1mm}m$, e como conhecemos sua velocidade, ao substituir valores na equação do movimento, resulta :

$$x(t)=4+8t$$

b) Para calcular o tempo solicitado, substitua $latex x(t)=12\hspace{1mm}m$ e resolva para o tempo:

$$t=\dfrac{12\hspace{1mm}m-4\hspace{1mm}m}{8\hspace{1mm}m/s}=1\hspace{1mm}s$$

c) Após 5 segundos, a partícula estará na posição $latex x(5)$, dada por:

$$x(5)=4\hspace{1mm}m+\left(8\hspace{1mm}\frac{m}{s}\times 5\hspace{1mm}s\right)=44\hspace{1mm}m$$

d) O deslocamento em $latex t=5\hspace{1mm}s$ é:

$$\Delta x= x_{final} -x_{inicial} =44\hspace{1mm}m- 4\hspace{1mm}m=40\hspace{1mm}m$$

a) A primeira etapa é realizar a conversão de minutos para horas:

$$120\hspace{1 mm}minutos=2\hspace{1 mm}horas$$

Como o ponto de partida é o mesmo, $latex x_0=0$ é usado para ambos os carros.

Chamaremos o carro 1 de mais lento e o carro 2 de mais rápido. Nesse caso, o carro 2 ultrapassa o carro 1:

$$x_1=75\frac{km}{h}\times2\hspace{1 mm}horas=150\hspace{1 mm}km$$

$$x_2=90\frac{km}{h}\times2\hspace{1 mm}horas=180\hspace{1 mm}km$$

Portanto, após $latex t=2\hspace{1mm} horas$, os carros são separados por uma distância de:

$$ (180 – 150) \hspace{1 mm}km=30 \hspace{1 mm}km$$

b) Neste caso, para distinguir as direções em que os carros se movem, basta atribuir uma velocidade negativa a um deles. Por exemplo, você pode fazer $latex v_2=-90\hspace{1mm}\frac{km}{h}$. Desta maneira:

$$x_1=75\frac{km}{h}\times2\hspace{1 mm}horas=150\hspace{1 mm}km$$

$$x_2=-90\frac{km}{h}\times2\hspace{1 mm}horas=-180\hspace{1 mm}km$$

Após $latex t=2\hspace{1mm} horas$, os carros, que estão se afastando desde o início, estarão separados por uma distância de:

$$ [150-(-180)] \hspace{1 mm}km=330 \hspace{1 mm}km$$

a) O objeto está inicialmente a 125 m da origem:

$$x_0=125\hspace{1mm}m$$

b) O objeto está parado nos seguintes intervalos de tempo:

• De $latex t=0$ até $latex t = 2\hspace{1 mm} s$
• De $latex t=4$ até $latex t = 6\hspace{1 mm} s$
• De $latex t=7$ até $latex t = 2\hspace{1 mm} s$

c) O objeto tem velocidade negativa no intervalo:

• Entre $latex t=6$ até $latex t = 7\hspace{1 mm} s$

d) O objeto tem velocidade positiva no intervalo:

• Entre $latex t=2$ até $latex t = 4\hspace{1 mm} s$
• Entre $latex t=8$ até $latex t = 10\hspace{1 mm} s$

e) A distância total é calculada como a soma das distâncias percorridas pelo objeto no intervalo de tempo correspondente:

• De $latex t=0$ até $latex t = 2\hspace{1 mm} s$ está em repouso, portanto, $latex \Delta x_1=0\hspace{1mm}m$
• De $latex t=2$ até $latex t = 4\hspace{1 mm} s$ viaja $latex \Delta x_2=225-125\hspace{1mm}m=100\hspace{1 mm}m$
• De $latex t=4$ até $latex t = 6\hspace{1 mm} s$ está em repouso, portanto, $latex \Delta x_3=0\hspace{1mm}m$
• De $latex t=6$ até $latex t = 7\hspace{1 mm} s$ o objeto retorna à origem, $latex \Delta x_4=225\hspace{1mm}m$
• De $latex t=7$ até $latex t = 8\hspace{1 mm} s$ está em repouso, portanto, $latex \Delta x_5=0\hspace{1mm}m$
• De $latex t=8$ até $latex t = 10\hspace{1 mm} s$ o objeto viaja $latex \Delta x_6=37,5\hspace{1mm}m$

$$Distância ~total= 100\hspace{1 mm}m+225\hspace{1mm}m+37,5\hspace{1mm}m=362,5\hspace{1mm}m$$

f) O movimento é composto por seis trechos diferentes, nos trechos 1, 3 e 5 está parado, nos trechos 2 e 6 tem velocidade positiva e no trecho 4 tem velocidade negativa. A velocidade é equivalente à inclinação da reta em cada seção:

• $latex v_1=0\hspace{1mm}m/s$
• $latex v_2=\dfrac{225m-125m}{4s-2s}=+50\hspace{1mm}m/s$
• $latex v_3=0\hspace{1mm}m/s$
• $latex v_4=\dfrac{225m-0m}{6s-7s}=-225\hspace{1mm}m/s$
• $latex v_5=0\hspace{1mm}m/s$
• $latex v_6=\dfrac{37,5m-0m}{10s-8s}=+18,75\hspace{1mm}m/s$

g) A velocidade média é o quociente entre a distância total percorrida e o tempo necessário para o movimento:

$$v_m=\dfrac{362,5\hspace{1mm}m}{10\hspace{1mm}s}=36,25\hspace{1mm}m/s$$

a) Seja o instante inicial $latex t_0 =0$. Nesse momento, ao carro 1 é atribuída a posição $latex x_1=0$ e ao carro 2 é atribuída a posição $latex x_2 =150\hspace{1mm}m$. Suas respectivas velocidades são: $latex v_1=+6\hspace{1mm}m/s$ e $latex v_2=-9\hspace{1mm}m/s$, portanto:

$$x_1(t)=6t$$

$$x_2(t)=150-9t$$

Para determinar o tempo de interseção, as respectivas equações são equacionadas:

$$6t=150-9t$$

$$15t=150$$

$$t=10\hspace{1mm}s$$

Os carros se cruzam após $latex t = 10\hspace{1mm}s$.

b) Após 15 segundos do instante inicial, 5 segundos se passaram depois que eles se cruzaram. Nesse tempo, o carro 1 percorreu a seguinte distância.

$$x_1 = 6t=6 \hspace{1 mm}\frac{m}{s}\times 5\hspace{1mm} s=30 \hspace{1mm}m$$

E o carro percorreu essa outra distância:

$$x_2=6t=9 \hspace{1 mm}\frac{m}{s}\times 5\hspace{1mm} s=45\hspace{1mm}m$$

Lembre-se de que a distância é sempre positiva, só que os carros se movem em direções opostas, portanto, a distância que os separa 15 segundos após terem se cruzado é:

$$30\hspace{1mm}m+45\hspace{1mm}m =75 \hspace{1mm}m$$

Suponha que o carro vermelho viaje a 12 km/h e o carro verde viaje a 18 km/h, como eles se movem perpendicularmente, suas trajetórias retilíneas formam os lados de um triângulo retângulo, enquanto a distância que os separa é a hipotenusa.

Do teorema de Pitágoras:

$$ (18t)^2+(12t)^2 = 900^2 \rightarrow 324t^2+144t^2=810000$$

$$468t^2=810000$$

$$t=\sqrt{\dfrac{810000}{468}}\hspace{1mm}s=41,6\hspace{1mm} s$$

Depois de 41,6 s após o cruzamento, os carros estarão a 900 m de distância.

a) A função de posição da partícula é uma função por partes com três seções.

Seção 1

Posição inicial: $latex x_0=-8\hspace{1mm}m$

Duração: começa em $latex t=0$ e termina em $latex t=10\hspace{1mm}s$

Velocidade: $latex + 2m/s$

Equação: $latex x(t)=-8+2t$

Posição final: $latex x(10)=-8+2\times 10\hspace{1mm} m= 12 \hspace{1mm} m$.

Seção 2

Posição inicial: $latex x(10)=12\hspace{1mm}m$

Duração: começa em $latex t=10\hspace{1mm}s$ e termina em $latex t=16\hspace{1mm}s$

Velocidade: nula

Equação: $latex x(t)= 12\hspace{1mm}m$ (A partícula permaneceu em repouso nesta posição)

Posição final: $latex x(16)=12\hspace{1mm}m$.

Seção 3

Posição inicial: $latex x(16)=12\hspace{1mm}m$

Duração: começa em $latex t=16\hspace{1mm}s$ y finaliza en $latex t=25\hspace{1mm}s$

Velocidade: $latex v=-5\hspace{1mm}m/s$

Equação: $latex x(t)=12-5(t-16)$ (O tempo é contado a partir de t=0 e esta seção começou 16 segundos após o início do movimento, portanto devemos subtrair 16 da variável).

Posição final: $latex x(25)=12-5\times (25-16)\hspace{1mm}=-33\hspace{1mm}m$

Se juntarmos as três expressões, fica o seguinte:

$$x(t) = \left\{\begin{array}{rl}  -8+2t & \text{se } 0 \leq t\leq10\\   12 & \text{se } 10 \leq t\leq16\\ 12-5(t-16) & \text{se } 16\leq t\leq25\end{array} \right. $$

b) Gráfico de posição versus tempo:

c) Em $latex t=18\hspace{1mm}s$ a partícula está localizada em $latex x=2\hspace{1mm}m$.

d) Ao final do movimento, a partícula estava na posição $latex x=-33\hspace{1mm}m$.

e) Gráfico da velocidade em função do tempo:

f) A distância percorrida durante os primeiros 20 segundos é numericamente equivalente à área entre o gráfico e o eixo horizontal.

Como são retângulos, a área é calculada multiplicando-se a base pela altura:

$$d_{20}= |10\hspace{1mm}\times2\hspace{1mm}m/s|+|{4\hspace{1mm}\times(-5\hspace{1mm}m/s)}|=40\hspace{1mm}m$$

Observe que a área é sempre uma quantidade positiva.

g) A distância total percorrida pelo objeto é numericamente equivalente à área destacada em cores na figura.

Você pode usar o resultado do item anterior e adicionar a área que falta, que é a área do retângulo cuja base vai de 20s a 25s:

$$d_{25}=40\hspace{1mm}m +|{5\hspace{1mm}s\hspace{1mm}\times(-5\hspace{1mm}m/s)}|=65\hspace{1mm}m$$.

h) A velocidade média da viagem é calculada dividindo-se a distância total percorrida pelo tempo:

$$v_m=\dfrac{65\hspace{1mm}m}{10\hspace{1mm}s}=6,5\hspace{1mm}m/s$$