Equações Cinemáticas Fundamentais

As cinco equações cinemáticas fundamentais para aceleração constante

As equações cinemáticas são um conjunto de equações que nos permite calcular as diferentes quantidades envolvidas quando um objeto está se movendo com uma aceleração constante. As quantidades com as quais estamos nos preocupando são

• $latex s=$ deslocamento
• $latex u=$ velocidade inicial
• $latex v=$ velocidade final
• $latex a=$ aceleração
• $latex t=$ tempo

Aqui estão as cinco equações de movimento:

Aqui estão as equações e a explicação de seus componentes:

1. $latex v = u + at$: Essa equação expressa que a mudança na velocidade é igual à aceleração vezes o intervalo de tempo.
2. $latex s=\frac{u+v}{2}\times t$: Essa equação apresenta o deslocamento como o produto da velocidade média (a soma das velocidades inicial e final dividida por 2) e o tempo.
3. $latex s=ut+\frac{1}{2}at^2$: Isso significa que o deslocamento de um objeto é o produto da velocidade inicial e do tempo mais a metade da aceleração vezes o quadrado do tempo.
4. $latex s=vt-\frac{1}{2}at^2$: Essa é uma versão rearranjada da terceira equação, que é útil quando a velocidade inicial não é fornecida ou considerada.
5. $latex v^2=u^2+2as$: Isso significa que o quadrado da velocidade final é igual ao quadrado da velocidade inicial mais duas vezes a aceleração vezes o deslocamento.

Nota: Cada equação é usada em circunstâncias específicas e contém informações particulares sobre o movimento do objeto. Saber qual equação usar em diferentes cenários é crucial para resolver problemas cinemáticos com precisão.

Escolhendo a equação cinemática correta

A escolha da equação cinemática apropriada depende muito das variáveis descritas em cada problema individual. Portanto, comece escrevendo as quantidades que conhecemos e a quantidade que queremos encontrar.

A tabela a seguir pode orientá-lo na determinação da equação correta a ser usada.

Problema	Equação	Começando do repouso
A velocidade é solicitada e $latex a$, $latex t$ são fornecidos	$latex v=u+at$	$latex v=at$
O deslocamento é solicitado e $latex u$, $latex v$, $latex t$ são fornecidos	$latex s=\dfrac{u+v}{2}\times t$	–
O deslocamento é solicitado e $latex u,~ a$, $latex t$ são fornecidos	$latex s=ut+\frac{1}{2}at^2$	$latex s=\frac{1}{2}at^2$
O deslocamento é solicitado e $latex v,~a$, $latex t$ são fornecidos	$latex s=vt-\frac{1}{2}at^2$	$latex s=vt-\frac{1}{2}at^2$
O tempo não é dado e não é solicitado	$latex v^2=u^2+2as$	$latex v=\sqrt{2as}$
A velocidade é constante ($latex a=0$)	$latex v=\dfrac{s}{t}~$ ou $latex ~s=vt$	–

Nota: Esta tabela mostra as formas simplificadas dessas equações aplicáveis ao lidar com objetos que partem do repouso, com velocidade inicial igual a 0 ou $latex u=0$.

Processo para resolver problemas com as equações cinemáticas

A maioria dos problemas relacionados às equações cinemáticas pode ser resolvida usando o procedimento a seguir:

Passo 1: Crie uma lista com as quantidades que conhecemos e as quantidades que queremos encontrar.

Passo 2: Escolha a equação que relaciona essas quantidades. A tabela acima pode servir como guia.

Passo 3: Substitua os valores conhecidos e resolva para os valores desconhecidos.

Provas das equações cinemáticas

As equações cinemáticas são derivadas das definições de velocidade e aceleração.

Podemos usar o seguinte gráfico de velocidade em relação ao tempo para nos ajudar a encontrar as equações. O gráfico representa o movimento de um objeto com velocidade inicial $latex u$. Após o tempo $latex t$, sua velocidade final é $latex v$.

Equação 1

O gráfico mostrado acima exibe uma linha reta, o que significa que a aceleração $latex a$ é constante. O declive da reta de um gráfico de velocidade vs tempo é igual à aceleração.

A aceleração ou o declive da reta é definida como:

$$ a=\frac{v-u}{t}$$

A solução para $latex v$ nos dá a primeira equação de movimento:

$latex v=u+at$

Equação 2

Em um gráfico de velocidade vs tempo, a área sob o gráfico representa o deslocamento. Então, o deslocamento do objeto é a área sombreada na figura a seguir:

Como as velocidades inicial e final são diferentes, calculamos o deslocamento usando a velocidade média, dada por:

$$\frac{u+v}{2}$$

Como a área sombreada da figura acima é um retângulo, basta multiplicar a velocidade média pelo tempo:

$$s=\frac{(u+v)}{2}\times t$$

Equação 3

Podemos derivar a equação 3 usando as equações 1 e 2.

$latex \text{(1)}~~v=u+at$

$latex \text{(2)}~~s=\dfrac{(u+v)}{2}\times t$

Substituindo $latex v$ da equação 1 na equação 2, obtemos:

$$s=\frac{(u+u+at)}{2}\times t$$

$$s=\frac{(2u+at)}{2}\times t$$

$$s=\frac{2ut}{2}+\frac{at^2}{2}$$

$$s=ut+\frac{at^2}{2}$$

Isso também pode ser visto na figura mostrada acima, onde os termos $latex ut$ e $latex at^2$ são as áreas sob o gráfico que representam o deslocamento.

Equação 4

Semelhante à equação 3, usamos apenas as equações 1 e 2.

$latex \text{(1)}~~v=u+at$

$latex \text{(2)}~~s=\dfrac{(u+v)}{2}\times t$

No entanto, aqui substituímos $latex u=v-at$ da equação 1 na equação 2 para obter:

$$s=\frac{(v+v-at)}{2}\times t$$

$$s=\frac{(2v-at)}{2}\times t$$

$$s=\frac{2vt}{2}-\frac{at^2}{2}$$

$$s=vt-\frac{at^2}{2}$$

Equação 5

Novamente, usamos as equações 1 e 2:

$latex \text{(1)}~~v=u+at$

$latex \text{(2)}~~s=\dfrac{(u+v)}{2}\times t$

Substituímos $latex t=\frac{v-u}{a}$ da equação 1 na equação 2 para obter:

$$s=\frac{(u+v)}{2}\times \frac{(v-u)}{a}$$

$$2as=(u+v)(v-u)$$

$$2as=v^2-u^2$$

$$v^2=u^2+2as$$

Aplicações práticas das equações cinemáticas

Exemplos da vida cotidiana

Os princípios por trás das equações cinemáticas estão presentes em nossa vida cotidiana. Por exemplo, quando você está dirigindo, a distância percorrida ao longo do tempo e a velocidade alcançada podem ser calculadas usando equações cinemáticas.

Da mesma forma, se você jogar uma bola para cima, poderá calcular a altura máxima que ela atingirá e quanto tempo levará para atingir o solo novamente, assumindo a aceleração constante da gravidade.

Aplicações em engenharia e tecnologia

Na engenharia e na tecnologia, as equações cinemáticas são usadas em toda parte. Por exemplo, os engenheiros mecânicos usam essas equações para projetar veículos e máquinas. No campo da robótica, as equações são usadas para programar os robôs para que se movam de maneira precisa.

Essas equações são usadas até mesmo na ciência da computação, desempenhando um papel fundamental no desenvolvimento de videogames, especialmente na criação de movimentos e física mais realistas no mundo virtual.

Experimentos científicos

As equações cinemáticas são indispensáveis em vários experimentos científicos. Os físicos geralmente usam essas equações para projetar e interpretar experimentos que envolvem movimento. Por exemplo, na física de partículas, os pesquisadores que estudam o comportamento de partículas sob várias forças geralmente usam equações cinemáticas para entender o movimento das partículas.

Viagem espacial e ciência de foguetes

Talvez uma das aplicações mais fascinantes das equações cinemáticas esteja nas viagens espaciais e na ciência dos foguetes. Ao lançar um foguete ou satélite, os cientistas e engenheiros precisam calcular a trajetória e a velocidade necessárias para escapar da atração gravitacional da Terra e chegar a um determinado destino.

Ao pousar uma espaçonave, eles devem calcular a desaceleração necessária para garantir um pouso seguro. Todos esses cálculos envolvem as equações cinemáticas, fornecendo uma demonstração perfeita de seu significado.

A partir desses exemplos, fica claro que as equações cinemáticas não são apenas conceitos teóricos, mas têm aplicações no mundo real.

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