Regra do trapézio das integrais – Exercícios resolvidos

O método dos trapézios consiste em dividir o intervalo de integração em n subintervalos e aproximar a área de cada um deles pela do trapézio entre os pontos de abcissa e as coordenadas da função avaliada nesses valores.

Desta forma, a integral aproximada $latex I_a$ é obtida por meio da seguinte fórmula, para o caso de $latex n$ intervalos regulares de largura $latex h=\Delta x $.

$$ I_{a}=\frac{1}{2}\Delta x (f(x_{0})+2(f(x_{1})+f(x_{2})+…..+f(x_{n-2})+f(x_{n-1}))+f(x_{n})) $$

Vamos ilustrar o método escolhendo 5 subintervalos e mostrando os cálculos em detalhe. É evidente que se se desejar um resultado mais exato, é necessário mais subintervalos.

• $latex f(x)=exp(-x^2)$
• $latex n=5$
• $latex a=-2$
• $latex b=+2$
• $latex h= \Delta x=\frac{b-a}{n} : 0,8$

Depois, temos os seguintes valores de x:

• $latex x_{0}=a= -2,0$
• $latex x_{1}=a+\frac{1(b-a)}{n}= -1, 2$
• $latex x_{2}=a+\frac{2(b-a)}{n}= -0,4$
• $latex x_{3}=a+\frac{3(b-a)}{n}= 0,4$
• $latex x_{4}=a+\frac{4(b-a)}{n}= 1,2$
• $latex x_{5}=a+\frac{5(b-a)}{n}= 2,0$

Utilizando estes valores, encontramos os valores da função ou da altura dos trapézios:

• $latex f(x_{0})= 1,8316×10^{-2}$
• $latex f(x_1)= 0,23693$
• $latex f(x_2)= 0,85214$
• $latex f(x_3)= 0,85214$
• $latex f(x_4)= 0,23693$
• $latex f(x_5)= 1,8316×10^{-2}$

Finalmente, utilizamos a seguinte fórmula:

$$I_a=\frac{h}{2} (f(x_{0})+2(f(x_{1})+f(x_2)+f(x_3)+f(x_4))+f(x_5))= 1,7572$$

Ao tomar um valor mais preciso da integral, como, por exemplo: I=1,7642, obtido utilizando muitos mais intervalos, podemos estimar o erro da nossa aproximação de 5 sub-intervalos.

Percentagem de erro: $latex \left( \frac{I-I_a}{I}\right) ×100 =0,40%$

Temos as seguintes informações:

• $latex f(x)=\sqrt{x}$
• $latex n=5$
• $latex a=0$
• $latex b=2$
• $latex \Delta x=\frac{b-a}{n} = 0,4$

Então, podemos obter os seguintes valores de x:

• $latex x_0=a= 0,0$
• $latex x_1=a+1\times \Delta x= 0,4$
• $latex x_2=a+2\times \Delta x= 0,8$
• $latex x_3=a+3\times \Delta x= 1,2$
• $latex x_4=a+4\times \Delta x= 1,6$
• $latex x_5=a+5\times \Delta x= 2,0$

Utilizando estes valores, encontramos as seguintes alturas:

• $latex f(x_0)= 0,0$
• $latex f(x_1)= 0,63246$
• $latex f(x_2)= 0,89443$
• $latex f(x_3)= 1,0954$
• $latex f(x_4)= 1,2649$
• $latex f(x_5)= 1,4142$

O valor aproximado da integral ($latex I_a$) é obtido através da fórmula da regra do trapézio:

$$I_a = \frac{\Delta x}{2} ( f(x_0)+2[ f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+f(x_4) ]+f(x_5)$$

$$I_a = 1,84$$

A integral exata é:

$$I=\int_{0}^{2} \sqrt{x} dx = \frac{4}{3} \sqrt{2} = 1,8856 $$

Percentagem de erro: $latex \frac{I-I_a}{I} \times 100 = 2,4% $

Comecemos por recordar que um trapézio é um quadrilátero com dois lados paralelos, chamados bases. A separação ou distância entre as duas bases de um trapézio é chamada a altura.

Por outro lado, a área de um trapézio é calculada multiplicando a semi-soma (soma dividida por 2) do comprimento das suas bases pela sua altura.

No primeiro trapézio da figura acima, o comprimento da base maior é $latex f(a)$ e o comprimento da base menor é $latex f(x_1)$. A altura é a separação entre as bases, ou seja, $latex h$. Depois, a área do trapézio 1 é:

$$A_1 = \frac{f(a) + f(x_1)}{2} \cdot h $$

Do mesmo modo, a área do trapézio 2 é dada por:

$$A_2 = \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} \cdot h $$

e a do trapézio 3 é:

$$A_3 = \frac{f(x_2) + f(b)}{2} \cdot h $$

A área total é a soma das áreas dos três trapézios, a que chamaremos $latex Sum $.

$$ Sum = \frac{f(a) + f(x_1)}{2} \cdot h + \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} \cdot h + \frac{f(x_2) + f(b)}{2} \cdot h $$

Percebemos que, nesta soma, $latex \frac{h}{2} $ é um fator comum:

$$ Sum = \frac{h}{2} [f(a) + f(x_1) + f(x_1) + f(x_2) + f(x_2) + f(b)] $$

$$ Sum = \frac{h}{2} [f(a) + 2 \cdot f(x_1) + 2 \cdot f(x_2)] + f(b) $$

$$ Sum = \frac{h}{2} [f(a) + 2 [f(x_1) + f(x_2)] + f(b)] $$

Ou seja, o valor da integral definida pode ser aproximado, no caso n=3, por:

$$ \int_a^b f(x) dx \approx \frac{h}{2} [f(x_0) + 2 [f(x_1) + f(x_2)] + f(x_3)] $$

Uma aproximação para a integral definida será encontrada utilizando a fórmula da regra dos trapézios para o caso de três subintervalos, ou seja, n=3.

$$ \int_a^b f(x) dx \approx \frac{h}{2} [f(x_0) + 2 [f(x_1) + f(x_2)] + f(x_3)] $$

Substituindo os valores dados, temos:

$$ \int_0^3 \frac{1}{1+x^2} dx \approx \frac{1}{2} [1 + 2 [0,5 + 0,2] + 0,1] = 1,25 $$

Esta integral pode ser calculada de forma analítica exata:

$$ \int_0^3 \frac{1}{1+x^2} dx = \left |Arctan(x) \right |_0^3 = Arctan(3)-Arctan(0) = 1,24905 $$

A percentagem de erro da nossa aproximação é:

$$ \frac{1,25-1,24905}{1,24905} \times 100 = 0,08 \% $$

Isto mostra que se a função tiver uma variação suave no intervalo de integração, podem ser alcançados resultados precisos com a regra do trapézio, mesmo tomando alguns subintervalos.

A fórmula da regra dos trapézios para o caso de quatro subintervalos (n=4) é:

$$ \int_0^{\pi /4} f(x) dx \approx \frac{h}{2} [f(x_0) + 2 [f(x_1) + f(x_2)+f(x_3)] + f(x_4)] $$

Os valores da função $latex f(x)=cos^3(x)$ nos extremos dos subintervalos são mostrados na figura acima:

$$ \int_0^{\pi /4} f(x) dx \approx \frac{\pi /8}{2} [1 + 2 [0,7886 + 0,3536 + 0,056] + 0,0] = 0,6669 $$

O resultado exato desta integral é: 2/3= 0,66667

A percentagem de erro da aproximação é:

$$ \frac{0,6669-0,66667}{0,66667} \times 100 = 0,03 \% $$

Esboçando um gráfico da função e dividindo-o em três trapézios, obtemos o seguinte:

Depois, utilizamos a fórmula da regra do trapézio para encontrar o valor da integral:

$$ I_a = \frac{\pi /12}{2} [sec(0) + 2 [sec( \pi /12) + sec( \pi /6))] + sec( \pi /4)]=0,889 $$

Será utilizada a fórmula para a regra do trapézio:

$$ I_a=\frac{h}{2} (f(x_{0})+2(f(x_{1})+f(x_{2})+…..+f(x_{n-2})+f(x_{n-1}))+f(x_{n})) $$

com n=9 e a função $latex \frac{4}{2+x^4} $.

Os cálculos intermédios e o resultado (destacado a verde) são mostrados no quadro seguinte:

O valor obtido pela aproximação trapezoidal é 5,22, enquanto o valor exato é 5,24.

O valor de h é: $latex h= \frac{b-a}{n}= \frac{4-(-4)}{8}=1$.

Em seguida, obtemos os 8 valores de x e os seus correspondentes valores de f(x). Depois, utilizamos a fórmula para a regra do trapézio:

O valor da integral é 8,37.

A distância entre o limite inferior $latex x=-4$ e o limite superior $latex x=4$ é de 8, pelo que dividindo pelos 8 intervalos, temos $latex h=1$.

Depois, determinamos os valores de x e as suas “alturas” correspondentes, e depois usamos a regra dos trapézios:

À semelhança do exemplo anterior, o valor de $latex h$ é 1, uma vez que a distância entre os limites de integração é 8 e temos 8 intervalos.

A tabela seguinte mostra os valores de x, os seus correspondentes valores f, e o resultado da aplicação da regra do trapézio: