Método de Newton-Raphson – Exercícios resolvidos

O método Newton-Raphson é um algoritmo utilizado para encontrar as raízes de uma função. É um método iterativo que utiliza a derivada da função para melhorar a precisão da estimativa da raiz em cada iteração.

Neste artigo, vamos analisar uma breve introdução ao método Newton-Raphson, incluindo os seus passos e vantagens. Daremos também exemplos da utilização do método para encontrar a raiz de uma função.

CÁLCULO
Fórmula para o método de Newton Raphson

Relevante para

Aprender sobre o método Newton-Raphson com exercícios.

Ver exercícios

CÁLCULO
Fórmula para o método de Newton Raphson

Relevante para

Aprender sobre o método Newton-Raphson com exercícios.

Ver exercícios

Passos para a aplicação do método Newton-Raphson

O método Newton-Raphson é um algoritmo iterativo para encontrar as raízes de uma função. Para utilizar o método, siga estes passos:

1. Escolha um valor inicial para x.

Este valor é uma estimativa onde se espera que haja uma raiz.

2. Encontrar o valor da função utilizando o valor de x do passo 1.

3. Encontrar o valor da derivada da função utilizando o valor de x do passo 1.

4. Use os valores encontrados para actualizar a estimativa de raiz usando a seguinte fórmula:

$$x_{r+1}=x_{r}-\frac{f(x_r)}{f^{\prime}(x_r)}$$

5. Repetir os passos 2-4 até a estimativa da raiz convergir para um valor preciso.


Vantagens e desvantagens do método Newton-Raphson

Uma das principais vantagens do método Newton-Raphson é que pode convergir rapidamente para a raiz de uma função, muitas vezes em algumas iterações.

Além disso, o método pode lidar com funções de qualquer complexidade, incluindo funções não lineares. Isto torna-o um algoritmo eficiente para encontrar raízes de funções complexas.

Outra vantagem do método Newton-Raphson é que utiliza a derivada da função para se aproximar da raiz, o que pode fornecer uma estimativa mais precisa da raiz em comparação com outros métodos que não utilizam derivadas.

No entanto, o método Newton-Raphson também tem alguns inconvenientes. Um dos principais inconvenientes é que o método pode não convergir se a estimativa inicial estiver demasiado longe da verdadeira raiz.

Além disso, o método pode convergir para um mínimo ou máximo local e não para um mínimo ou máximo global, o que pode levar a uma estimativa incorreta da raiz.

Finalmente, o método requer o cálculo de derivadas, o que pode ser difícil para algumas funções.


Método Newton-Raphson – Exemplos com respostas

EXERCÍCIO 1

Usar o método Newton-Raphson para encontrar uma raiz negativa do seguinte polinômio cúbico:

$$x^3-2x+1$$

Utilizar como ponto de partida o valor $latex x_0=-1,5$ para encontrar por aproximações sucessivas o valor da raiz com três casas decimais de precisão.

Solução

EXERCÍCIO 2

Encontrar nas três casas decimais mais próximas o valor de x que satisfaz a seguinte equação:

$$ln(x)=2$$

Solução

EXERCÍCIO 3

Encontrar o valor de x que satisfaz a seguinte equação:

$$ x^x = 5 $$

Solução

EXERCÍCIO 4

Interpretar geometricamente o significado da fórmula para o método Newton-Raphson:

$$ x_{i+1} = x_i – \frac{f(x_i)}{f'(x_i)}$$

Solução

EXERCÍCIO 5

Encontre as soluções para a seguinte equação:

$$ cos(x) = x^2 $$

Solução

EXERCÍCIO 6

Find the roots of the function:

$$ tgh(x) + x^2 -1$$

Solução

EXERCÍCIO 7

Resolver a seguinte equação usando o método de Newton-Raphson:

$$ e^x = 2 – x^2 $$

com um mínimo de quatro casas decimais.

Solução

EXERCÍCIO 8

Utilizar o método Newton-Raphson para obter uma aproximação de pelo menos três casas decimais exatas:

$$ \sqrt[6]2$$

Solução

EXERCÍCIO 9

Encontrar um valor aproximado com pelo menos três casas decimais para:

$$\sqrt {\sqrt 2}$$

Solução

EXERCÍCIO 10

Utilizar o método Newton-Raphson para encontrar uma aproximação decimal:

$$ln(13)$$

Solução

Método Newton-Raphson – Problemas de prática

Prática de método Newton-Raphson
Logo
Você completou as perguntas!

Use o método Newton Raphson para encontrar a raiz de $latex x\ln (x)=2$ que fica entre $latex x=2$ e $latex x=3$.

Escreva a resposta com três casas decimais.

$latex x=$

Veja também

Interessado em aprender mais sobre métodos numéricos? Pode visitar estas páginas:

Foto de perfil do autor Jefferson Huera Guzman

Jefferson Huera Guzman

Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.

Aprenda matemática com nossos recursos adicionais em diferentes tópicos

APRENDER MAIS