Derivada de cos(2x) – Fórmula, Demonstração e Gráficos

Prova da derivada do cosseno de ângulos duplos usando a regra da cadeia

Por ser uma função composta, a fórmula da regra da cadeia é usada como base para derivar o cosseno de um ângulo duplo. A função trigonométrica cosseno será a função externa f(u) na função composta cos(2x), enquanto o monômio 2x será a função interna g(x).

Você pode revisar a fórmula da regra da cadeia visitando este artigo: Regra da Cadeia. Além disso, você pode visitar este artigo para ver a prova da derivada da função cosseno: Derivada de cosseno, cos(x).

Suponha que temos que encontrar a derivada de

$latex F(x) = \cos{(2x)}$

Podemos identificar as duas funções que compõem F(x). Há uma função cosseno trigonométrica e um monômio neste cenário. É claro que a função cosseno dada é a função externa, enquanto o monômio 2x é a função interna. Podemos definir a função externa como

$latex f(u) = \cos{(u)}$

onde

$latex u = 2x$

Definindo o monômio 2x como a função interna de f(u) denotando-o como g(x), temos

$latex f(u) = f(g(x))$

$latex g(x) = 2x$

$latex u = g(x)$

Derivando a função externa f(u) usando a derivada do cosseno em termos de u, temos

$latex f(u) = \cos{(u)}$

$latex f'(u) = -\sin{(u)}$

Derivando a função interna g(x) usando a regra da potência, uma vez que é um monômio, temos

$latex g(x) = 2x$

$latex g'(x) = 2$

Multiplicando algebricamente a derivada da função externa $latex f'(u)$ pela derivada da função interna $latex g'(x)$, temos

$latex \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = (-\sin{(u)}) \cdot (2)$

Substituindo u em $latex f'(u)$, temos

$latex \frac{dy}{dx} = (-\sin{(u)}) \cdot (2)$

$latex \frac{dy}{dx} = – (\sin{(2x)} \cdot (2))$

$latex \frac{dy}{dx} = – ((2) \cdot \sin{(2x)})$

Nesse caso, preferimos não aplicar a identidade trigonométrica de ângulo duplo para cosseno, pois simplificará menos a fórmula da derivada. Portanto, isso nos leva à fórmula para a derivada cos(2x)

$latex \frac{d}{dx} \cos{(2x)} = -2\sin{(2x)}$

Gráfico de cos(2x) vs. sua derivada

Dada a função

$latex f(x) = \cos{(2x)}$

seu gráfico é

E como já sabemos, diferenciando $latex f(x) = \cos{(2x)}$, obtemos

$latex f'(x) = -2\sin{(2x)}$

que, se representado graficamente, é exibido como

Ilustrando os dois gráficos em um, temos

Observando as diferenças entre essas funções com base nesses gráficos, vemos que a função original $latex f(x) = \cos{(2x)}$ tem um domínio de

$latex (-\infty,\infty)$ ou todos os números reais

e existe dentro da imagem de

$latex [-1,1]$

enquanto a derivada $latex f'(x) = -2\sin{(2x)}$ tem domínio de

$latex (-\infty,\infty)$ ou todos os números reais

e existe dentro da imagem de

$latex [-2,2]$

Comparação gráfica entre cos(2x) e cos(x) bem como suas derivadas

Os gráficos abaixo ilustram a diferença entre $latex \cos{(2x)}$ e $latex \cos{(x)}$

e em termos de suas derivadas, temos

Veja também

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• Derivada de Cosseno, cos(x) – Fórmula, Prova e Gráficos
• Derivada de Seno, sen(x) – Fórmula, Demonstração e Gráficos
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